Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдем сначала общее решение однородного уравнения:
y''+y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2+1=0
k1,2=±i
Так как корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, то общее решение однородного уравнения запишем в виде:
y0=C1sinx+C2cosx
Правая часть неоднородного уравнения имеет специальный вид и так как корни характеристического уравнения k1,2=±i, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=x(Asinx+Bcosx)
y'=Asinx+Bcosx+x(Acosx-Bsinx)
y''=Acosx-Bsinx+Acosx-Bsinx+x-Asinx-Bcosx=
=2Acosx-2Bsinx+x-Asinx-Bcosx
Подставим данные значения в исходное уравнение:
2Acosx-2Bsinx+x-Asinx-Bcosx+x(Asinx+Bcosx)=-8sinx-6cosx
2A=-6 => A=-3 -2B=-8 B=4
y=x(-3sinx+4cosx)
Общее решение неоднородного уравнения:
y=y0+y=C1sinx+C2cosx+x(-3sinx+4cosx)
Найдем частное решение удовлетворяющее начальным условиям:
yπ2=-π2 => -π2=C1-3π2 => C1=π
y'=πcosx-C2sinx+-3sinx+4cosx+x(-3cosx-4sinx)
y'π2=-2π => -2π=-C2-3-2π => C2=-3
Частное решение уравнения:
y=πsinx-3cosx+x(-3sinx+4cosx)