Исследование поступления сообщений на системы коммутаций.
На телефонной станции организовано наблюдение за процессом поступления сообщений. Весь период наблюдения (25 часов), на протяжении которого поток является практически стационарным, разделён на EQ n = 100 интервалов длительностью EQ t = 15 мин. И для каждого интервала определяется число поступающих сообщений. Данные наблюдения группируются в статистический ряд по EQ m членов, характеризующихся числом интервалов EQ nk EQ (k = 1, 2, …, m) с одинаковым числом вызовов EQ ck в интервале (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 EQ n = \O\ac(k;∑)nk
EQ ck 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 –
EQ nk 0 4 8 14 17 18 15 10 7 4 2 1 0 100
Требуется:
Оценить следующие характеристики процесса поступления сообщений.
1.Рассчитать эмпирические вероятности EQ \O\ac(P;¯)k распределения числа вызовов на интервале длительностью EQ t = 15 мин.
2.Рассчитать среднее статистическое значение числа вызовов EQ \O\ac(c;¯) в интервале EQ t = 15 мин.
3.Рассчитать вероятности распределения Пуассона EQ Pk на интервале EQ t = 15 мин.
4.Рассчитать число степеней свободы EQ r и меру расхождения EQ χ2 между теоретической вероятностью EQ Pk и эмпирической EQ \O\ac(P;¯)k.
5.Определить соответствие эмпирического распределения числа сообщений в интервале EQ t = 15 мин распределению Пуассона.
Решение
Рассчитаем эмпирические вероятности EQ \O\ac(P;¯)k распределения числа вызовов на заданном интервале по формуле:
EQ \A\al\co2\hs20(\O\ac(P;¯)k = \F(nk;n),;k = 1, 2, …, m)[ 1 ]
Результаты расчётов эмпирических вероятностей приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты расчётов эмпирических вероятностей
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Сумма
EQ ck 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 –
EQ nk 0 4 8 14 17 18 15 10 7 4 2 1 0 100
EQ \O\ac(P;¯)k 0 0,04 0,08 0,14 0,17 0,18 0,15 0,1 0,07 0,04 0,02 0,01 0 1
Рассчитаем среднее статистическое значение числа вызовов EQ \O\ac(c;¯) в заданном интервале:
EQ \O\ac(c;¯) = \F(\O\ac(m;k=1;∑) ck∙nk;n)[ 2 ]
EQ \O\ac(c;¯) = \F(1∙4 + 2∙8 + 3∙14 + 4∙17 + 5∙18 + 6∙15 + 7∙10 + 8∙7+9∙4+10∙2+11∙1;100) = 5,03
Рассчитаем вероятности распределения Пуассона EQ Pk на заданном интервале по формуле:
EQ \A\al\co2\hs20(Pk = \F(ck;k!) ∙ e−c,;k = 0, 1, …, m−1)[ 3 ]
Результаты расчётов вероятностей распределения Пуассона приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Результаты расчётов вероятностей распределения Пуассона
№ 1 2 3 4 5 6 7
EQ Pk 0,0065 0,0329 0,0827 0,1387 0,1744 0,1755 0,1471
№ 8 9 10 11 12 13 Сумма
EQ Pk 0,1057 0,0665 0,0371 0,0187 0,0085 0,0036 1
Рассчитаем меру расхождения EQ χ2 между теоретической вероятностью EQ Pk и эмпирической EQ \O\ac(P;¯)k по формуле:
EQ χ2 = n ∙\O\ac(m;k=1;∑)\F(\B(\O\ac(P;¯)k − Pk)2;Pk)[ 4 ]
Таблица 4 – Расчёт меры расхождения EQ χ2
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
EQ \O\ac(P;¯)k 0 0,04 0,08 0,14 0,17 0,18 0,15 0,1 0,07 0,04 0,02 0,01 0
EQ Pk, 10−2 0,65 3,29 8,27 13,87 17,44 17,55 14,71 10,57 6,65 3,71 1,87 0,85 0,36
EQ \F(\B(\O\ac(P;¯)k−Pk)2;Pk),10−4 65,39 15,37 0,89 0,12 1,11 1,18 0,58 3,07 1,89 2,20 0,93 2,49 35,81
Рассчитаем число степеней свободы EQ r по формуле:
EQ r = m − s[ 5 ]
где EQ s –число независимых условий, налагаемых на вероятности EQ \O\ac(P;¯)k, и определению вероятности EQ P того, что величина, имеющая распределение EQ χ2 с EQ r степенями свободы, превзойдёт данное значение EQ χ2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
