Используя заданный закон распределения случайной величины X и данную функцию Y=φ(X)

1)Сумма вероятностей в законе распределения равняется единице. Поэтому неизвестная вероятность равна:
p2=1-0,2+0,4+0,1=1-0,7=0,3
2) Если x≤1, то Fx=0. Действительно, по заданному закону случайная величина X не принимает значений, меньших числа 1. Если 1<x≤3, то Fx=0, 2 (X может принимать значение 1 с вероятностью 0, 2). Если 3<x≤4, то Fx=0, 5 (X может принимать значение 1 с вероятностью 0, 2 и значение 3 с вероятностью 0, 3) . Если 4<x≤7, то Fx=0, 9 (X может принимать значение 1, 3, 4 с соответствующими вероятностями).
Если x>7, то Fx=1. Действительно, событие X≤7 достоверно и вероятность этого события равна 1.
Таким образом,
Fx=0,при x≤10,2, при 1<x≤30,5, 3<x≤40,9,4<x≤71,x>7
3)Найдём возможные значения случайной величины Y=3X+1:
y1=3*x1+1=3*1+1=4
y2=3*x2+1=3*3+1=10
y3=3*x3+1=3*4+1=13
y4=3*x4+1=3*7+1=22
Вычислим вероятности возможных значений Y:
PY=4=PX=x1=0,2
PY=10=PX=x2=0,3
PY=13=PX=x3=0,4
PY=22=PX=x4=0,1
Тогда искомый закон распределения имеет вид:
Y 4 10 13 22
P 0,2 0,3 0,4 0,1
4)Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины X:
MX=i=14Xipi=1*0,2+3*0,3+4*0,4+7*0,1=0,2+0,9+1,6+0,7=3,4
DX=12*0,2+32*0,3+42*0,4+72*0,1-3,42=0,2+2,7+6,4+4,9-11,56=2,64
Теперь определим двумя способами математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y:
Сначала используем закон распределения случайной величины Y:
MY=i=14Yipi=4*0,2+10*0,3+13*0,4+22*0,1=0,8+3+5,2+2,2=11,2
DY=42*0,2+102*0,3+132*0,4+222*0,1-11,22=16*0,2+100*0,3+169*0,4+484*0,1-125,44=3,2+30+67,6+48,4-125,44=23,76
Теперь найдём характеристики случайной величины Y, используя свойства математического ожидания и дисперсии:
MY=M3X+1=3*MX+1=3*3,4+1=11,2
DY=D3X+1=9*DX=9*2,64=23,76