Исходные данные r1=15 см r2=10 см r3=12 см r4=37 см m2-3 = 60кг

Редуктор является механической системой с одной степенью свободы. Приняв за обобщенную координату угол поворота φ1 ведущего вала, запишем уравнение Лагранжа второго рода:
ddt(∂T∂φ1)·∂T∂φ1 + ∂П∂φ1 = Qφ1, (1)
Обобщенная скорость φ1 равна угловой скорости ведущего вала. Вычисляем кинетическую энергию системы T как функцию обобщенной скорости. Для этого необходимо знать угловые скорости всех звеньев редуктора: ведущего вала ωI , ведомого вала ωII , сателлитов ω2-3. Для этого применим способ Виллиса (метод обращенного движения).
Передаточное отношение от колеса 1 к колесу 4, при неподвижном водиле Н, равно: u1-4H = (ω1 - ωH)/(ω4 - ωH) = (ω1 - ωH)/(0 - ωH) = 1 - ω1/ωH = 1 - ωI/ωII, отсюда находим: ωII = ωI/(1 - u1-4H ), (2),
с другой стороны: u1-4H = (- r2/r1)·r4/r3 = - r2·r4/r1·r3 = - 10·37/15·12 = -2,0556,
тогда: ωII = ωI/[1 - (-2,0556)] = 0,327ωI, (3), т.е. валы II и I вращаются в одну сторону. ωI = ωII/0,327 = 3,058·ωII
Находим передаточное отношение от колеса 1 к блоку колес 2-3 (сателлитам), при неподвижном водиле Н:
u1-2H = (ω1 - ωH)/(ω2 - ωH) = (ωI - ωH)/(ω2 - ωH) = ( ωI - 0,327ωI) /(ω2 - ωH) =
= 0,673ωI/(ω2 - ωH), отсюда находим:
ω2 = ω3 = 0,327ωI + 0,673ωI/u1-2H
с другой стороны: u1-2H = - r2/r1 = - 10/15 = - 0,667, тогда:
ω2 = ω3 = 0,327ωI + 0,673ωI/(- 0,667) = - 0,682 ωI, (4), знак минус указывает на то,
что сателлиты вращаются противоположно валу I, колеса 1.
ωI = - ω2/0,682 = - 1.465ω2
Найдем значение кинетической энергии всех подвижных частей редуктора . Она равна сумме кинетических энергий ведущего вала I , cателлитов 2-3, ведомого вала II (водила Н).
Колесо I и водило Н совершают вращательное движение, блок сателлитов 2-3 -
плоскопараллельное, в соответствии с этим кинетические энергии равны:
Т1 = ТI = JI·ω2I/2, (5), ТII =JII·ω2II/2, (6),
T2-3 = 2(m2-3·VC2/2 + J2-3·ω22/2) = m2-3·VC2 + J2-3·ω22, (7), где VC = ωII·h = ωII·(r4 - r3) =
= ωII·(r1 + r2) - cкорость центра масс блока сателлитов.
VC = ωII·(0,37- 0,12) = ωII·(0,15+0,10) = 0,25·ωII = 0,25·0,327ωI = 0,082ωI, (8)
ТI = JI·ω2I/2 = 4·ω2I/2 = 2·ω2I , (9)
ТII =JII·ω2II/2 = 16·ω2II/2 = 8·ω2II = 8·(0,327ωI)2 = 0,855·ω2I , (10)
T2-3 = 60·(0,082ωI)2 + 0,9·(- 0,682 ωI)2 = 0,820·ω2I , (11).
Тогда кинетическая энергия всех подвижных частей редуктора равна:
Т = ТI + ТII + T2-3 = 2·ω2I + 0,855·ω2I + 0,820·ω2I = 3,675·ω2I = 3,675·(φ1)2 , (12).
Вычисляем потенциальную энергию редуктора П