Графическим способом отделить корни уравнения fx

Отделим корни уравнения графически, построив график функции
fx=x-2sinx
Как видно из графика уравнение имеет точный корень x=0, корни на отрезках [-2; -1.5] и [1,5; 2].
На заданном в условии отрезке [0;0.5] уравнение имеет только точный корень, поэтому для вычисления корня указанными методами возьмем отрезок [1,5; 2].
Уточним корень на отрезке [1,5; 2] методом хорд с точностью ε=0,0001.
Приближение по методу хорд осуществляется по формулам:
Если a- неподвижный конец отрезка, то:
xn+1=xn-fxnfxn-fa(xn-a)
Если b-неподвижный конец отрезка, то:
xn+1=xn-fxnfb-fxn(b-xn)
За неподвижный конец отрезка принимают тот, для которого знак функции fx совпадает со знаком второй производной f"x.
Вычисления продолжаются до тех пор пока не будет достигнута заданная точность, т.е xn+1-xn<ε
fx=x-2sinx
f'x=1-2cosx
f''x=2sinx
f''2=1.819
f2=0.181
f2f''2>0
Тогда b=2 – неподвижный конец отрезка, x0=a0=1.5
Вычисления будем производить по формуле:
xn+1=xn-fxnfb-fxn(b-xn)
x1=1.5--0.494990.18141--0.494992-1.5=1.8659
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
n
a
b
f(a) f(b) |an+1-an|
0 1,5 2 -0,49499 0,18141 0,5000
1 1,86590 2 -0,04764 0,18141 0,3659
2 1,89379 2 -0,00278 0,18141 0,0279
3 1,89540 2 -0,00016 0,18141 0,0016
4 1,89549 2 0.000000 0,18141 0,0001
x4-x3=1.89549-1.89540<ε
x≈1.8955
Уточним корень на отрезке [1,5; 2] методом касательных с точностью ε=0,0001.
Нахождение корня по методу касательных осуществляется по формуле:
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2…
Вычисления продолжаются до тех пор пока не будет достигнута заданная точность, т.е xn+1-xn<ε
За x0 выберем точку, принадлежащую отрезку [1,5; 2], в которой выполняется условие:
fx0f''x0>0
x0=2
x1=x0-fx0f'x0=2-0.18141.8323=1.901
Вычисления сведем в таблицу:
n
xn
f(xn) f'(xn)
0 2,000000 0,181405 1,832294
1 1,900996 0,009040 1,648463
2 1,895512 0,000028 1,638078
3 1,895494 0,000000 1,638045
x3-x2=1.89549-1.89551<ε
x≈1.8955
Уточним корень на отрезке [1,5; 2] комбинированным методом хорд и касательных с точностью ε=0,0001.
Комбинированный метод дает приближение корня с разных сторон.
Если faf''a>0, то приближение по методу касательных будет происходить слева, а по методу хорд – справа.
an+1=an-fanf'an, n=0,1,2…
bn+1=an∙fbn-bn∙f(an)fbn-f(an)
Если fbf''b>0, то приближение по методу касательных будет происходить справа, а по методу хорд – слева.
bn+1=bn-fbnf'bn, n=0,1,2…
an+1=an∙fbn-bn∙f(an)fbn-f(an)
Вычисления продолжаются до тех пор пока не будет достигнута заданная точность, т.е bn+1-an+1<ε