Функция z=z(x y) задана неявно уравнением xz2-x2y+y2z+2x-y=0

В данной задаче явное выражение частных производных через x и y находить не требуется, а нужно найти только их значения в указанной точке. Это можно сделать следующим образом. Заметим, что при x = 0, y = 1 (подставим значения х = 0 и у = 1 в уравнение xz2-x2y+y2z+2x-y=0) из уравнения Φ(0, 1,z) = z − 1 = 0 получаем
z = 1 . Дифференцируем тождество
xzx,y2-x2y+y2∙zx,y+2x-y=0 ( 1 )
по х : zx,y2+2x∙zx,y∙zx'-2xy+y2∙zx'+2=0 ( 2 ).
Полагая в ( 2 ) x=0, y=1, z0,1=1, получаем
12+2∙0∙1∙zx'-2∙0∙1+12∙zx'+2=0;
1+zx'+2=0;
zx'=-3, следовательно, ∂z∂x0,1,1=-3