Даны вершины пирамиды 𝑆𝑃𝑀𝑁 𝑆(4 0 0) 𝑃

Сделаем рисунок.
Введем обозначения. Пусть SxS; yS; zS; PxP; yP; zP; MxM; yM; zM; NxN; yN; zN;
SN(xSN; ySN; zSN ); SP(xSP; ySP; zSP )
Найдем длину ребра 𝑆𝑁:
Длину ребра SN найдем как длину вектора SN:
Найдем координаты
SN=xN-xS;yN-yS;zN-zS=5-4;8-0;2-0=1;8;2;
SN=xN-xS2+yN-yS2+zN-zS2=
=12+82+22=1+64+4=69≈8,31.
2) Напишем уравнение ребра 𝑆𝑁 по формуле:
x-xSxSN=y-ySySN=z-zSzSN; x-41=y-08=x-02 ⇒ x-41=y8=z2.
3) Напишем уравнение грани 𝑆𝑃𝑁:
Уравнение грани напишем как уравнение плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора SN, SP :
x-xSy-ySz-zSxSNySNzSNxSPySPzSP=0.
Найдем координаты вектора SP:
SP=xP-xS;yP-yS;zP-zS=0-4;2-0;0-0=-4;2;0. Подставим в уравнение плоскости:
x-4y-0z-0-420182=0 ⇒ x-4yz-420182=0 ⇒
x-4∙2082-y∙-4012+z∙-4218=0;
x-4∙2∙2-8∙0-y∙-4∙2-1∙0+z∙-4∙8-1∙2=0;
x-4∙4-y∙-8+z∙-32-2=0;
4x-16+8y-34z=0;
2x+4y-17z-8=0.
4) Найдем площадь грани 𝑆𝑃𝑁:
Площадь грани SPN найдем по формуле:
SSPN=12SN×SP=12ijkxSNySNzSNxSPySPzSP=12ijk-420182=
=122082i--4012j+-4218k=
=122∙2-8∙0i--4∙2-1∙0j+-4∙8-1∙2k=124i+8j-34k=
=1242+82+-342=1216+64+1156=121236=309≈17,58.
5) Найдем уравнение высоты SS1, опущенной из вершины 𝑆 на грань 𝑃𝑀𝑁:
x-xSxPMN=y-ySyPMN=z-zSzPMN , где xPMN; yPMN; zPMN- координаты нормального вектора плоскости PMN.
Найдем уравнение плоскости PMN .
x-xPy-yPz-zPxM-xPyM-yPzM-zPxN-xPyN-yPxN-zP=0 ⇒ x-0y-2z-00-00-21-05-08-22-0=0 ⇒ xy-2z0-21562=0 ⇒
x∙-2162-y-20152+z∙0-256=0;
x∙-2∙2-6∙1-y-2∙0∙2-5∙1+z∙0∙6-5∙-2=0;
x∙-10-y-2∙-5+z∙10=0;
-10x+5y-10+10z=0;
2x-y-2z+2=0 ⇒ xPMN=2; yPMN=-1; zPMN=-2 ⇒NPMN=2; -1; -2.
Подставим в уравнение высоты, получаем:
x-42=y-1=z-2.
6) Найдем длину высоты SS1, опущенной из вершины 𝑆 на грань 𝑃𝑀𝑁:
SS1=3VSPMN.
Найдем объем пирамиды:
V=16SP∙SM×SN=16∙xSPySPzSPxSMySMzSMxSNySNzSN
SP=-4;2;0; SN=1;8;2
Найдем координаты вектора SM:
SMxM-xS; yM-yS; zM-zS =0-4;0-0;1-0=-4;0;1.
Поучаем:
V=16-420-401182=16-4∙0182-2∙-4112+0∙-4018=
=16-4∙0∙2-8∙1-2∙0∙2-1∙1+0=16-4∙-8-2∙-1=
=1632+18=1650=253;
Найдем площадь грани (PMN) по формуле:
SPMN=12PM×PN=12ijkxM-xPyM-yPzM-zPxN-xPyN-yPzN-zP=12ijk0-00-21-05-08-22-0=
=12ijk0-21562=12-2162i-0152j+0-256k=
=12-2∙2-6∙1i-0∙2-5∙1j+0∙6-5∙-2k=12-4-6i+5∙j+10k=
=12-10i+5j+10k=12-102+52+102=12100+25+100=12225=12∙15=
=152=7,5.
Тогда SS1=3VSPMN=3∙2537,5=257,5≈3,33.
7) Найдем угол между ребрами 𝑆𝑃 и 𝑆𝑁 (в градусах) по формуле:
∠PSN=arccosSP∙SNSP∙SN,
SN=1;8;2; SN=69; SP=-4;2;0; SP=-42+22+02=16+2=20
∠PSN=arccos1∙-4+8∙2+2∙069∙20=arccos-4+16+0269∙5=arccos122345=
=arccos6345=arccos6∙345345=arccos2345115=arccos0,3230
По таблице Брадиса находим угол:
∠PSN=71° 10'.
8) Найдем угол между ребром 𝑆𝑃 и гранью 𝑃𝑀𝑁 (в градусах):
Угол между прямой 𝑆𝑃 и гранью 𝑃𝑀𝑁 найдем по формуле:
∠SP,PMN=arcsinSP∙NPMNSP∙NPMN;
SP=-4;2;0; SP=20; NPMN=2; -1; -2;
NPMN=22+-12+-22=4+1+4=9=3.
Получаем:
∠SP,PMN=arcsin-2∙2+2∙-1+0∙-220∙3=arcsin-4-2+025∙3=
=arcsin-665=arcsin15=arcsin55=arcsin0,4472.
По таблице Брадиса найдем угол:
∠SP,PMN=26° 21'.
9) Объем пирамиды: (нашли выше в пункте 6))
V=253≈8,33 ед.3.
Ответ: 1) SN≈8,31.
2) x-41=y8=z2.
3) 2x+4y-17z-8=0.
4) SSPN≈17,58 ед2.
5) x-42=y-1=z-2.
6) 3,33