Данные каждого варианта определяется параметрами p1 p2. При выполнении контрольных заданий студент должен подставить там

Заполним таблицу согласна своей ФИО: Мерекина - 8, Маргарита – 9, р1 -9, р2 - 8.
Номер
региона
Среднедушевой прожиточный
минимум в день одного
трудоспособного, руб., x Среднедневная заработная
плата, руб., y
1 789 1338
2 808 1489
3 879 1358
4 798 1549
5 1579 1578
6 1069 1958
7 679 1368
8 988 1588
9 738 1528
10 869 1628
11 878 1469
12 1109 1738
1. Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:
x y x2 y2 x * y
789 1338 622521 1790244 1055682
808 1489 652864 2217121 1203112
879 1358 772641 1844164 1193682
798 1549 636804 2399401 1236102
1579 1578 2493241 2490084 2491662
1069 1958 1142761 3833764 2093102
679 1368 461041 1871424 928872
988 1588 976144 2521744 1568944
738 1528 544644 2334784 1127664
869 1628 755161 2650384 1414732
878 1469 770884 2157961 1289782
1109 1738 1229881 3020644 1927442
11183 18589 11058587 29131719 17530778
Для наших данных система уравнений имеет вид:
12*a + 11183*b = 18589
11183*a + 11058587*b = 17530778
Домножим уравнение системы на (-931,917), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-11183*a -10421627,811*b = -17323405,113
11183*a + 11058587*b = 17530778
Получаем:
636959,189*b = 207372,887
Откуда b = 0,3256
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения:
12*a + 11183*b = 18589
12*a + 11183*0,3256 = 18589
12*a = 14948,097
a = 1245,6747
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0,3256, a = 1245,6747
Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):
y = 1245,6747+0,3256*x
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастет на 0,3256 руб.
2. Оценим тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:
EQ rxy = \f(\x\to(x·y) -\x\to(x)·\x\to(y);S(x)·S(y)) = EQ \f(1460898.167 - 931.917·1549.083;230.391·167.284) = 0.448
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < rxy < 0.3: слабая;
0.3 < rxy < 0.5: умеренная;
0.5 < rxy < 0.7: заметная;
0.7 < rxy < 0.9: высокая;
0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.
Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:
EQ rx,y = b·\f(S(x);S(y)) = 0.326\f(230.391;167.284) = 0.448
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака .
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.4482 = 0.2011
т.е. в 20.11% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 79,89% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
789 1338 1502.553 44556.174 27077.778 0.123
808 1489 1508.739 3610.007 389.636 0.0133
879 1358 1531.855 36512.84 30225.561 0.128
798 1549 1505.483 0.00694 1893.691 0.0281
1579 1578 1759.757 836.174 33035.74 0.115
1069 1958 1593.714 167212.84 132704.134 0.186
679 1368 1466.74 32791.174 9749.595 0.0722
988 1588 1567.343 1514.507 426.726 0.013
738 1528 1485.949 444.507 1768.291 0.0275
869 1628 1528.599 6227.84 9880.509 0.0611
878 1469 1531.529 6413.34 3909.929 0.0426
1109 1738 1606.737 35689.507 17229.921 0.0755
11183 18589 18589 335808.917 268291.51 0.885
3. Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2;∑(yi - \x\to(y))2) = EQ 1 - \f(268291.51;335808.92) = 0.2011
EQ F = \f(R2;1 - R2)\f((n - m -1);m)
EQ F = \f(0.2011;1 - 0.2011)\f((12-1-1);1) = 2.52
или по формуле:
EQ F = \f(∑(yx - \x\to(y))2;∑(yi - yx)2) \f((n - m -1);m) = EQ \f(67517.41;268291.51)·\f((12-1-1);1) = 2.517
EQ ∑(yx - \x\to(y))2 = 335808.92 - 268291.51 = 67517.41
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fтабл = 4.96
Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).
4. Оценим статистическую значимость параметров регрессии и корреляции. Для этого сперва определим параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние:
EQ \x\to(x) = \f(∑xi;n) = \f(11183;12) = 931.917
EQ \x\to(y) = \f(∑yi;n) = \f(18589;12) = 1549.083
EQ \x\to(xy) = \f(∑xiyi;n) = \f(17530778;12) = 1460898.167
Выборочные дисперсии:
EQ S2(x) = \f(∑x2i;n) - \x\to(x)2 = \f(11058587;12) - 931.9172 = EQ 53080.24
EQ S2(y) = \f(∑y2i;n) - \x\to(y)2 = EQ \f(29131719;12) - 1549.0832 = 27984.08
Среднеквадратическое отклонение:
EQ S(x) = \r(S2(x)) = \r(53080.24) = 230.391
EQ S(y) = \r(S2(y)) = \r(27984.08) = 167.284
Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:
EQ b = \f(\x\to(x·y)-\x\to(x)·\x\to(y);S2(x)) = \f(1460898.167-931.917·1549.083;53080.24) = 0.3256
EQ a = \x\to(y) - b·\x\to(x) = 1549.083 - 0.3256·931.917 = 1245.6747
Выдвигаем гипотезы:
H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;
H1: rxy ≠ 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)
EQ tнабл = rxy \f(\r(n-2);\r(1 - r2xy))
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области