Дана функция z = f(x y). Требуется 1) построить линии уровня f

Для U=2x2+xy уравнение семейства линий уровня имеет вид
2x2+xy=C
Для построения линий уровня в системе координат xОy подставим в уравнение семейства линий уровня y-x2=C различные значения C:
при C = 2 получим 2x2+xy=2
при C = 3 получим 2x2+xy=3
при C = 4 получим 2x2+xy=4
Это семейство гипербол. Построим эти линии в системе координат xОy.
Найдем частные производные функции первого и второго порядков:
dzdx=2x2+xyx'=4x+y
dzdy=2x2+xyy'=x
d2zdx2=4x+yx'=4
d2zdy2=xy'=0
Полный дифференциал найдем по формуле:
dz=dzdxdx+dzdydy
dz=4x+ydx+xdy
Решим систему уравнений.
4x+y=0x=0
y=0x=0
y1=0x1=0
Количество критических точек равно 2.
M10;0
Вычисляем значения для точки M10;0
B=d2zdxdy=1
A=d2zdx2=4
C=d2zdy2=0
AC - B2=-1<0 , то глобального экстремума нет
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z - z0= zx'x0,y0,z0x - x0+ zy'x0,y0,z0y - y0
По условию задачи x0=-1;y0=2, тогда z0 =0
В точке M0-1;2 значения частных производных:
zx'-1;2=-2
zy'-1;2=-1
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке -1;2:
z = -2*x+1+-1*y - 2
z = -2x-2-y+2
2x+y+z=0
Запишем уравнения нормали в общем виде:
x-x0zx'x0,y0,z0=y-y0zy'x0,y0,z0=z-z0-1
Пользуясь формулой, получаем канонические уравнения нормали к поверхности в точке -1;2:
x+1-2=y-2-1=z-1
Градиентом функции z=fx,y называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:
gradz=dzdxi+dzdyj
величина градиента равна:
gradz=4x+yi+xj
Найдем градиент в точке A1;2
grad zA=-2i-j
Модуль gradz – наибольшая скорость возрастания функции:
gradzA=dzdxA2+dzdyA2
gradzA=-22+-12=5
Найдем производную в точке A по направлению вектора a3, 4.
dzda=dzdxcosα+dzdycosβНайти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:
cosα=xa; cosβ=yaМодуль вектора a равен:
a=x2+y2=32+42=25=5
тогда направляющие косинусы:
cosα=35; cosβ=45
Для вектора a имеем:
dzdaA=-2*35+-1*45=-2