Дан линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Искомое решение имеет вид:
yx=yx+y*(x)
Составим характеристическое уравнение:
k2-4k+3=0
D=b2-4ac=-42-4*3=16-12=4
k1=-b+D2a=4+42=4+22=3
k2=-b-D2a=4-42=4-22=1
Его корни равны:
k1=3 и k2=1
Следовательно, общее решение имеет вид:
yx=C1e3x+C2ex
y*(x) выберем в виде:
y*=Ae5x
Находим производные:
y'(x)=5Ae5x
y''(x)=25Ae5x
И подставляем в левую часть уравнения:
25Ae5x-4*5Ae5x+3Ae5x=8e5x
25Ae5x-20Ae5x+3Ae5x=8e5x
8Ae5x=8e5x
A=1; y*=e5x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
yx=C1e3x+C2ex+e5x
Найдем y'(x):
y'x=3C1e3x+C2ex+5e5x
И подставим в начальные условия:
C1+C2+1=3,3C1+C2+5=7.
C1+C2=2,3C1+C2=2.
C1=2-C2,3*2-C2+C2=2.
C1=2-C2,6-3C2+C2=2.
C1=2-C2,-2C2=-4.
C1=2-2,C2=2.
Отсюда:
C1=0,C2=2.
Тогда частное решение окончательно примет вид:
y=2ex+e5x