Были испытаны 25 ламп на продолжительность горения и получены следующие результаты (в часах)

Объем выборки n=25. Выборочная средняя вычисляется по формуле
x=1nixi=1nkxk*∙nk
б) Сначала составим интервальное распределение выборки с шагом h=40, взяв за начало первого интервала x0=760. Границы интервалов разбиения определяются по формулам:
a0=x0, ak=ak-1+h, k=1,6;
a0=760, a1=800, a2=840, a3=880, a4=920, a5=960, a6=1000.
Интервальное статистическое распределение
x [760; 800) [800; 840) [840; 880) [880; 920) [920; 960) [960; 1000)
nk
2 2 4 10 5 2
Теперь посчитаем выборочную среднюю:
x=125780*2+820*2+860*4+900*10+940*5+980*2=2230025=892
в) Построим полигон и гистограмму частот
По виду полигона и гистограммы можно сказать, что мы имеем нормальный закон распределения.
г) Проверим справедливость выдвинутой гипотезы . Для этого воспользуемся критерием Пирсона.
Составим вспомогательную таблицу для подсчета вероятностей попадания вариант выборки в интервал разбиения:
pk=F0ak-F0ak-1=Фuk-Фuk-1, k=1,6;
где uk=ak-xσ, Фuk=12π0uke-x2/2dx.
Границы интервалов uk=ak-xσ
Фuk
pk
a0=760
-2,64 -0,4959
0, 0287
a1=800
-1,84 -0,4671
0,1163
a2=840
-1,04 -0,3508
0,2560
a3=880
-0,24 -0,0948
0,3071
a4=920
0,56 0,2123
0,2008
a5=960
1,36 0,4131
0,0715
a6=1000
2,16 0,4846
Теперь вычисляем наблюдаемое значение критерия Пирсона:
χнабл2=k=15nk-n∙pk2n∙pk
Границы интервалов
[ak-1;ak)
Эмпирические частоты
nk
Вероятности
pk
Теоретические частоты
n∙pk
Отклонения
nk-n∙pk
nk-n∙pk2n∙pk
[760; 800) 2 0,0287 0,72 1,28 2,286
[800; 840) 2 0,1163 2,91 -0,91 0,283
[840; 880) 4 0,2560 6,40 -2,40 0,900
[880; 920) 10 0,3071 7,68 2,32 0,703
[920; 960) 5 0,2008 5,02 -0,02 0,000
[960; 1000) 2 0,0715 1,79 0,21 0,025
4,20
Определим число степеней свободы: s=l-r-1=6-1-1=4, здесь r=1, так как по выборке оценивался только один параметр – x.
По таблице χ2-распределения при заданном уровне значимости α=0,05 находим
χ2кр(0,05;4)=9,49
Так как χнабл2=4,20<χ2кр=9,49, то нет оснований отвергать выдвинутую гипотезу, т.е