Звонки поступают на номер телефона как пуассоновский поток с интенсивностью λ

Изобразим граф состояний процесса (здесь S0 – телфеон свободен, а S1 – занят):
Записываем систему уравнений Колмогорова по формуле (производная вероятности состояния равна сумме входящих потоков за вычетом исходящих потоков вероятностей):
Pi't=jPjtλji-jPitλij
В нашем случае:
P0't=µP1t-λP0tP1't=λP0t-µP1t
Или, подставляя числовые значения:
P0't=2P1t-P0tP1't=P0t-2P1t
Т.е . инфинитезимальная матрица процесса:
A=-112-2
Поскольку нам задано начальное распределение вероятностей ρ;1-ρ=13;23, то решаем полученную систему уравнений Комогорова с заданным распределением.
Из второго уравнения системы:
P0t=P1't+2P1t
Тогда:
P0't=P1''t+2P1't
Подставляя в первое:
P1''t+2P1't=2P1t-P1't+2P1t
Получаем:
P1''t+3P1't=0
По корням характеристического уравнения:
k2+3k=0
kk+3=0
k1=0,k2=-3
Получаем общее решение:
P1t=c1+c2e-3t
Дифференцируем:
P1't=-3c2e-3t
Тогда:
P0t=P1't+2P1t=-3c2e-3t+2c1+c2e-3t=2c1-c2e-3t
Получили общее решение системы:
P0t=2c1-c2e-3tP1t=c1+c2e-3t
Подставляя начальное распределение:
13=2c1-c223=c1+c2 c1=13c2=13
И распределение вероятностей в любой момент времени t:
P0t=2-e-3t3P1t=1+e-3t3
Находим вероятность того, что номер свободен в момент времени t=3:
P03=2-e-3∙33=2-e-93≈0,6666