Задана электрическая схема цепи (рис. 1) и исходные данные в табл. 1.
Представим схему к виду, удобную для расчета:
Рисунок 1 – Исходная схема цепи
Таблица 1 – Параметры электрической цепи
E1
E2
E3
R1
R2
R3
R4
R5
R6
В Ом
10 2 49 1 2 12 4 5 15
Требуется:
1. Записать систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, необходимую для определения токов в ветвях схемы.
2. Определить токи в ветвях методом контурных токов, предварительно упростив (если это необходимо) схему.
3. Проверить правильность решения, использовав первый закон Кирхгофа.
4. Составить уравнение баланса мощности и проверить его.
5. Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.
Решение
Метод законов Кирхгофа
Рисунок 2 – Схема для расчета цепи методом законов Кирхгофа
Произвольно выбираем направления токов в цепи (рис. 2) и направления обхода контуров.
Укажем все узлы, ветви и контуры получившейся электрической цепи.
Узел – это точка электрической цепи, где сходится не менее трех ветвей.
Цепь содержит четыре независимых узла:
a;b;c;d nузл=4
Ветвь – это участок электрической цепи из одного или нескольких элементов, с последовательным соединением элементов, расположенный между двумя узлами.
Цепь содержит шесть ветвей:
R1+E1;E2+R2;E3+R3;R4;R5; R6 nветв=6
Контуром называют любой замкнутый участок электрической цепи.
Независимый контур – это контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие контуры.
Цепь содержит три независимых контура:
I→R1+E1+R4+R5
II→R4+E2+R2+R6
III→R3+E3+R5+R2+E3
nконтур=3
Так как в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно:
nуравн= nветв=6
По первому закону Кирхгофа составляем три уравнения:
nузл-1=4-1=3
Недостающие три уравнения следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров:
nуравн-nузл-1=6-3=3
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю.
При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.
Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от узла:
k=1nIk=0
для узла a:
I1-I4-I6=0
для узла b:
I4+I5-I2=0
для узла c:
I3-I1-I5=0
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа.
Второй закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
k=1nIkRk=k=1nEk
Для контура I:
I5*R5-I1*R1-I4*R4=E1
Для контура II:
I4*R4+I2*R2-I6*R6=-E2
Для контура III:
-I2*R2-I5*R5-I3*R3=E2-E3
Решив систему, находим шесть неизвестных токов.
I1-I4-I6=0 I4+I5-I2=0I3-I1-I5=0I5*R5-I1*R1-I4*R4=E1I4*R4+I2*R2-I6*R6=-E2-I2*R2-I5*R5-I3*R3=E2-E3
Подставим данные в систему:
I1-I4-I6=0 I4+I5-I2=0I3-I1-I5=0I5*5-I1*1-I4*4=10I4*4+I2*2-I6*15=-2-I2*2-I5*5-I3*12=2-49=-47
Метод контурных токов
Рисунок 3 – Схема для расчета цепи методом контурных токов
Метод контурных токов основан на введении промежуточной неизвестной величины – контурного тока и использовании второго закона Кирхгофа.
Определим токи во всех ветвях схемы методом контурных токов (МКТ)
. Введем контурные токи I11;I22;I33 в независимые контуры цепи и выберем их направление по часовой стрелке (рис.3).
Контурный ток – собственный ток каждого независимого контура.
Реальный ток в ветвях определяется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.
Проставляем направления контурных токов на расчетной схеме.
Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа, т.е. числу независимых контуров (рис. 3).
Для каждого независимого контура составляем расчетное контурное уравнение согласно правилу:
левая часть равна сумме произведений контурного тока на собственное сопротивление этого контура, взятое со знаком «плюс», и контурных токов прилегающих контуров на сопротивления смежных ветвей, взятых со знаком «минус», если направления контуров не совпадают и взятых со знаком «плюс», если направления контуров совпадают;
правая часть равна алгебраической сумме э.д.с. этого контура – контурной э.д.с., взятой со знаком «плюс», если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС.
Для рассматриваемой цепи (рис. 3) система уравнений относительно контурных токов, учитывая выбранные направления примет вид:
I11*R11+I22*R12+I33*R13=E11 для контура II11*R21+I22*R22+I33*R23= E22 для контура III11*R31+I22*R32+I33*R33=E33 для контура III
Подсчитаем значения коэффициентов системы:
собственные сопротивления контуров (собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят):
R11=R1+R4+R5
R11=1+4+5=10
R11=10 Ом
R22=R2+R4+R6
R22=2+4+15=21
R22=21 Ом
R33=R2+R3+R5
R33=2+12+5=19
R33=19 Ом
общие сопротивления контуров (общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам, взятого со знаком «+», если направление обхода контуров совпадают):
R12=R21=-R4=-4
R12=R21=-4 Ом
R13=R31=-R5=-5
R13=R31=-5 Ом
R23=R32=-R2=-2
R23=R32=-2 Ом
контурные ЭДС (контурная ЭДС – это сумма всех ЭДС входящих в этот контур; взятых со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС):
E11=E1=10
E11=10 В
E22=-E2=-2
E22=-2 В
E33=E2-E3=2-49=-47
E33=-47 В
В полученную систему подставляем уже известные значения коэффициентов и решаем:
I11*10-I22*4-I33*5=10 для контура I-I11*4+I22*21-I33*2= -2 для контура II-I11*5-I22*2+I33*19=-47 для контура III
Расчет системы производится методом Крамера при помощи главного и вспомогательного определителей:
∆=R11R12R13R21R22R23R31R32R33=10-4-5-421-2-5-219=3041
∆=3041
∆1=E11R12R13E22R22R23E33R32R33=10-4-5-221-2-47-219=-1533
∆1=-1533
∆2=R11E11R13R21E22R23R31E33R33=1010-5-4-2-2-5-4719=-1350
∆2=-1350
∆3=R11R12E11R21R22E22R31R32E33=10-410-421-2-5-2-47=-8068
∆3=-8068
Контурный ток I11:
I11=∆1∆=-15333041=-0,504
I11=-0,504 А
Контурный ток I22:
I22=∆2∆=-13503041=-0,444
I22=-0,444 А
Контурный ток I33:
I33=∆3∆=-80683041=-2,653
I33=-2,653 А
Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит.
I1=-I11=--0,504=0,504
I1=0,504 А
I2=I22-I33=-0,444--2,653=2,209
I2=2,209 А
I3=-I33=--2,653=2,653
I3=2,653 А
I4=I22-I11=-0,444--0,504=0,06
I4=0,06 А
I5=I11-I33=-0,504--2,653=2,149
I5=2,149 А
I6=-I22=--0,444=0,444
I6=0,444 А
Результаты расчета токов в ветвях методом контурных токов:
I1=0,504 АI2=2,209 АI3=2,653 АI4=0,06 АI5=2,149 АI6=0,444 А
Выполним проверку по первому закону Кирхгофа:
для узла a:
I1-I4-I6=0
0,504-0,06-0,444=0
0=0
для узла b:
I4+I5-I2=0
0,06+2,149-2,209=0
0=0
для узла c:
I3-I1-I5=0
2,653-0,504-2,149=0
0=0
для узла d:
I6+I2-I3=0
0,444+2,209-2,653=0
0=0
Баланс мощностей
Проверим правильность расчета токов, составив уравнение баланса мощностей.
Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии, согласно которому, мощность, вырабатываемая (генерируемая) источниками, должна быть полностью рассеяна на резисторах, то есть если расчет токов ветвей выполнен правильно, то должно выполняться равенство:
Pист=Pпотр
k±Ek*Ik±Ujk*Jjk=kI2k*Rk
Источники ЭДС E1;E2 потребляют энергию, так как направление ЭДС и тока в ветви с источником не совпадают и их записываем со знаком «-».
Источники ЭДС E3 вырабатывает энергию, так как направление ЭДС и тока в ветви с источником совпадают и его записываем со знаком «+».
Мощность источников:
Pист=E3*I3-E1*I1-E2*I2
Pист=49*2,653-10*0,504-2*2,209=120,539
Pист=120,539 Вт
Мощность отдельных потребителей:
Pk=I2k*Rk
P1=0,5042*1=0,254
P1=0,254 Вт
P2=2,2092*2=9,759
P2=9,759 Вт
P3=2,6532*12=84,461
P3=84,461 Вт
P4=0,062*4=0,0144
P4=0,0144 Вт
P5=2,1492*5=23,091
P5=23,091 Вт
P6=0,4442*15=2,957
P6=2,957 Вт
Суммарная мощность потребителей:
Pпотр=P1+P2+P3+P4+P5+P6
Pпотр=0,254+9,759+84,461+0,0144+23,091 +2,957=120,536
Pпотр=120,536 Вт
Pист=120,539 Вт≈Pпотр=120,536 Вт
Относительная погрешность определения мощности:
δ=Pист-PпотрPист*100%=120,539 -120,536120,539*100%=0,0025%
Погрешность исчисляется тысячными долями процента, что свидетельствует о высокой точности выполненного расчета.
Потенциальная диаграмма для внешнего контура цепи
Потенциальной диаграммой называют график распределения потенциалов вдоль участка электрической цепи или замкнутого контура.
При расчете потенциалов одну (любую) точку можно заземлить, принимая ее потенциал равным нулю
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
