Записать задачу линейного программирования в матричной и векторной форме

Запишем задачу линейного программирования в екторной форме
Z=j=14cjxj→min,
j=14Aixj=B, i=1,3
где Ai (i=1,3) – вектор-столбцы, составленные при переменных в системе ограничений, B – вектор-столбец свободных членов системы ограничений:
A1=35,A2=-1-1,A3=-4-7,A1=12,B=26
Приведение задачи к задаче с двумя переменными
Т.к. количество переменных в задаче больше двух, то сначала сведем задачу к задаче с двумя переменными.
Используя метод Жордана-Гаусса, приведем систему ограничений задачи к равносильной разрешенной системе уравнений, сохранив правые части уравнений неотрицательными. Для этого проведем элементарные матричные преобразования расширенной матрицы системы ограничений.
Исходная матрица имеет вид:
3-1-415-1-7226
Выберем в качестве базисной переменную x4, получим 0 в столбце переменной x4 во второй строке. Ко второй строке прбавим первую, умноженную на (-2):
3-1-41-111022
В качестве второй базисной выберем переменную x2, получим 0 в столбце переменной x2 в первой строке. К первой строке прибавим вторую:
20-31-111042
Запишем преобразованную систему ограничений:
2x1-3x3+x4=4-x1+x2+x3=2
Выразим базисные переменные x2, x4 через свободные x1, x3:
x4=-2x1+3x3+4x2=x1-x3+2
Т.к . x2, x4≥0, то система ограничений примет вид:
-2x1+3x3+4≥0x1-x3+2≥0
Подставим выражения для x2, x4 в целевую функцию:
ZX=-2x1+x1-x3+2+3x3-2-2x1+3x3+4=-x1+2x3+2+4x1-6x3--8=3x1-4x3-6
Получим задачу линейного программирования с двумя переменными:
ZX=3x1-4x3-6→min
-2x1+3x3+4≥0x1-x3+2≥0
x1, x3≥0
Приведение задачи к задаче с двумя переменными
Определение области допустимых решений (ОДР)
В неравенствах системы ограничений заменим знаки неравенств на знаки точных равенств и построим соответствующие им прямые.
l1:-2x1+3x3+4=0
3x3=2x1-4
x3=23x1-43
Строим прямую l1 по двум точкам:
x1
2 6
x3
0 83
l2: x1-x3+2=0
x3=x1+2
Строим прямую l2 по двум точкам:
x1
0 6
x3
2
8
l3: x1=0 – ось ординат
l4: x3=0 – ось абсцисс
Строим полученные прямые (рис. 1).
Рис. 1. Прямые, определяемые неравенствами системы органичений
Определяем полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам системы ограничений: их пересечение образует область допустимых решений.
Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости