Заменив неизвестные параметры генеральной совокупности соответственно их наилучшими выборочными оценками, по данным задачи 1, используя 2-критерий Пирсона на уровне значимости α=0,05 проверить две гипотезы о том, что изучаемая случайная величина ξ – величина вклада – распределена:
а) по нормальному закону распределения;
б) по равномерному закону распределения.
Построить на чертеже, где изображена гистограмма эмпирического распределения, соответствующие графики равномерного и нормального распределений.
Решение
Алгоритм применения критерия Пирсона
Шаг 1. Определить меру расхождения эмпирических частот и теоретических частот :
Шаг 2. Для выбранного уровня значимости α по таблице критических точек распределения Пирсона найти критическое значение при числе степеней свободы , где m – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.
Шаг 3. Нулевая гипотеза принимается, если , и отвергается в случае .
В данном случае числовые характеристики случайной величины Х уже вычислены:
Среднее 511,4 тыс.руб.
«Исправленная» выборочная дисперсия .
Стандартное отклонение: 153,16 тыс.руб.
а) можно сформулировать нулевую гипотезу: случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 511,4 тыс.руб., и стандартным отклонением, равным 153,16 тыс.руб.
Критерий Пирсона
Найдем значения теоретических частот .
Для определения теоретических частот нормального распределения составим таблицу, в которую занесем такие графы: интервалы, частоты , значения значения функции Лапласа Ф(х) в этих значениях и , т.е и , которые находим по таблицам значений функции Лапласа; затем в графе рi вычисляем вероятность
попадания в интервал ; в графе nрi находим произведение 2000·рi , т.е
. искомые теоретические частоты . Концы первого и последнего интервалов принимаются бесконечными. В последнем столбце вычислим критерий :
I αi-1 αi рi
1 - ∞ 202 7 - ∞ -2,02 -0,5 -0,4783 0,0217 4,3 1,63
2 202 287 12 -2,02 -1,47 -0,4783 -0,4292 0,0491 9,8 0,49
3 287 372 16 -1,47 -0,91 -0,4292 -0,3186 0,1106 22,1 1,70
4 372 457 30 -0,91 -0,36 -0,3186 -0,1406 0,1780 35,6 0,88
5 457 542 45 -0,36 0,2 -0,1406 0,0793 0,2198 44,0 0,02
6 542 627 49 0,2 0,75 0,0793 0,2734 0,1941 38,8 2,67
7 627 712 22 0,75 1,31 0,2734 0,4049 0,1315 26,3 0,70
8 712 797 15 1,31 1,86 0,4049 0,4686 0,0637 12,7 0,40
9 797 + ∞ 4 1,86 + ∞ 0,4686 0,5 0,0314 6,3 0,83
200 1 200 9,33
9,33.
Вычисляем количество степеней свободы: k = m – Sн –1 , где Sн =2 – число параметров нормального распределения.
m = 9 – число интервалов
k = 9 – 2 – 1 = 6 – число степеней свободы.
По таблице критических точек распределения χ2 при уровне значимости
α = 0,05 и числе степеней свободы k = 4 находим критическое значение
χ2кр = 12,59.
Получаем: χ2 = 9,33 ; χ2кр =12,59; χ2 < χ2кр, следовательно гипотеза о нормальном распределении принимается
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
