Законы распределения случайных величин Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения F(X)

Проверим свойство неубывания функции F(X):
При x≤0 она принимает постоянное значение 0, 0≤0 – не убывает;
При 0<x≤13 FX=3x2+2x- это квадратическая функция с вершиной
хв=-22∙3=-13.
Поэтому на промежутке x≥-13 она возрастает, в том числе для 0<x≤13, причем F0=0, значит, и здесь она не убывает. F13=13+23=1.
При x>13 FX=1, то есть принимает постоянное значение 1, значит, не убывает здесь и на всей числовой оси также.
2.Проверим существование пределов:
limх→-∞FX=limх→-∞0=0 и limх→+∞FX=limх→+∞1=1.
3.Проверим непрерывность слева в любой точке:
На каждом из 3-х открытых промежутков F(X) непрерывна, исследуем в т.
х =0 и х = 13.
limх→-0FX=0, F-0=0, F0=0-значения совпадают.
limх→13-0FX=13+23=1, F13-0=13+23=1, F13=13+23=1-значения совпадают.
Значит, функция F(X) непрерывна слева для всех х, то F(X) есть функция распределения некоторой случайной величины Х.
Найдем:
а)дифференциальную функцию f(x):
fx=F'x=6х+20, x≤0,;0<x≤13,0; x>13.
в)математическое ожидание случайной величины Х
MX=-∞∞xfxdx=013x∙6х+2dx=013(6х2+2х)dx=(2х3+х2)013=
=227+19-0=527.
с) дисперсию случайной величины Х (двумя способами) и среднеквадратическое отклонение:
Для расчета дисперсии X воспользуемся формулой:
DX=-∝∞x2fxdx-MX2=013x2∙6х+2dx-5272=013(6x3+2x2)dx-5272=
=(32x4+23x3)130-5272=154+281-0-5272≈0,0089.
Для расчета дисперсии X воспользуемся другой формулой:
DX=-∞∞x-MX2fxdx=013x-5272∙6х+2dx=
=0136x3-209x2+50243x+2x2-2027x+50729dx=
=0136x3-29x2-130243x+50729dx=(32x4-227x3-65243x2+50729x)130=
=154-2729-652187+502187=131458≈0,0089.
Среднее квадратическое отклонение
σХ=DX=0,0089≈0,094.
d) построим графики интегральной F(X) и дифференциальной f(x) функций
(рис