Заданы три линейные формы определенные на векторах x

Проверим, образует ли совокупность форм {f1,f2,f3} базис в пространстве R3*. Для этого проверим являются ли они линейно независимыми. Вычислим определитель, составленный из их коэффициентов:
1-1910774-7=-49+36-7-28=-48≠0
Формы {f1,f2,f3} являются линейно независимыми, а так как их три, то они образуют базис в R3*
Для нахождения базиса {e1,e2,e3} пространства R3, сопряженного к базису {f1,f2,f3}, исходя из определения fi,ek=δki, достаточно обратить матрицу коэффициентов базисных форм:
1-1910774-7-1, detA=-48
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A по формуле
A11=(-1)1+1∙074-7=-12∙0-28=-28
A12=-11+2∙177-7=-13∙-7-49=56
A13=-11+3∙1074=-14∙4-0=4
A21=-12+1∙-194-7=-13∙7-36=29
A22=-12+2∙197-7=-14∙-7-63=-70
A23=-12+3∙1-174=-15∙4+7=-11
A31=-13+1∙-1907=-14∙-7-0=-7
A32=-13+2∙1917=-15∙7-9=2
A33=-13+3∙1-110=-16∙0+1=1
Из найденных дополнений составим матрицу:
AT=A11A21A31A12A22A32A13A23A33=-2829-756-7024-111
Обратную матрицу получаем по формуле:
A-1=1detA∙AT=-148∙-2829-756-7024-111=712-2948748-763524-124-1121148-148
e1=712-76-112T
e2=-294835241148T
e3=748-124-148T
Чтобы найти координаты вектора x=(4;-2;13)T в базисе {e1,e2,e3} воспользуемся свойством сопряженных базисов: значения базисных форм на векторе x совпадают с коэффициентами разложения этого вектора по базису векторного пространства:
ξi=fi,x
Получаем:
ξ1=f1,x=1∙4+-1∙-2+9∙13=123
ξ2=f2,x=1∙4+7∙13=95
ξ3=f3,x=7∙4+4∙-2-7∙13=-71
x=123∙712-76-112T+95∙-294835241148T-71∙748-124-148T=
=86112-275548-49748-8616+332524+7124-12312+104548+7148T=
=19248-482462448T=4-213T
По определению, коэффициенты формы f относительно базиса {e1,e2,e3} пространства R3 считаются посредством вычисления указанной формы на базисных векторах по формуле:
φk=f,ek
φ1=f,e1=5∙712+-4∙-76+2∙-112=3512+286-212=35+56-212=8912
φ2=f,e2=5∙-2948+-4∙3524+2∙1148=-14548-14024+2248=
=-145-280+2248=-40348
φ3=f,e3=5∙748+-4∙-124+2∙-148=3548+848-248=4148