Заданы прямая L x-12=y1=z+10 и точка M(0

Проверим, что точка M0, 1, 2 не лежит на прямой L: x-12=y1=z+10:
0-12=11=2+10
-12≠1≠30.
Следовательно, точка M0, 1, 2∉L.
а) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L и точку M;
Из уравнения прямой L мы можем извлечь следующую информацию: точка на прямой M1(1, 0, -1), направляющий вектор прямой s=2, 1, 0. Если ввести в рассмотрение вектор MM1=1,-1,-3, то вместе с направляющим вектором прямой s мы будем иметь два вектора, лежащие на искомой плоскости.
Тогда вектор нормали к плоскости можно найти как их векторное произведение
n=A, B, C=s×MM1=ijk2101-1-3=i∙-3-0-j∙-6-0+k∙-2-1=-3;6;-3.
Уравнение искомой плоскости:
-3x-0+6y-1-3z-2=0
-3x+6y-3z=0
x-2y+z=0.
б) написать уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой L;
Направляющий вектор прямой L: s=2, 1, 0 будет являться нормальным вектором искомой плоскости:
n=s=2, 1, 0.
Уравнение искомой плоскости:
2∙x-0+1∙y-1+0∙z-2=0
2x+y-1=0.
в) написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую L;
Находим точку пересечения M' плоскости, перпендикулярной прямой L и самой прямой L:
2x+y-1=0x-12=y1=z+10⇒2x+y-1=0x=2t+1y=tz=-1⇒
22t+1+t-1=0
5t+1=0⟹t=-15⟹x=2∙-15+1=35y=-15z=-1.
Тогда точка пересечения прямой и плоскости M'35,-15,-1.
Уравнения перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую L находим по формуле прямой через две точки M0, 1, 2 и M'35,-15,-1:
x-035-0=y-1-15-1=z-2-1-2
x3/5=y-1-6/5=z-2-3
x-1=y-12=z-25.
г) вычислить расстояние ρM,L;
ρM,L=MM'=35-02+-15-12+-1-22=1830.
д) найти проекцию точки M на прямой L.
Проекция точки M на прямую L была найдена выше, как точка пересечения плоскости, перпендикулярной прямой L и прямой L:
M'35,-15,-1.
Ответ: а) x-2y+z=0; б) 2x+y-1=0; в) x-1=y-12=z-25; г) 1830; д) M'35,-15,-1.