Заданные точки 1 x-sin2x-0 25 [4 6] 0 2 x1=1+3+0

Получим массив данных
i
xi
yi
0 4 3,17725
1 4,2 3,19036
2 4,4 3,24445
3 4,6 3,36258
4 4,8 3,55766
5 5 3,83046
6 5,2 4,16951
7 5,4 4,55284
8 5,6 4,95150
9 5,8 5,33414
10 6 5,67193
Данную функцию будем интерполировать с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона полиномами n=3 ( с пятью знаками после запятой)
P3x=yx0+y0-y1x0-x1x-x0+yx0, x1-y(x1, x2)x0-x2x-x0x-x1+yx0, x1,x2-y(x1, x2,x3)x0-x3x-x0x-x1x-x2
P3x=yx0+∆y0hx-x0+∆2y02!h2x-x0x-x1+∆3y03!h3x-x0x-x1x-x2
Составим таблицу для расчетов
∆y0=yi-yi-1
∆2y0=∆yi-∆yi-1
∆3y0=∆2yi-∆2yi-1
Для полинома третьей степени выберем 4 точки
xi
yi
∆y0
∆2y0
∆3y0
0 4 3,17725      
1 4,2 3,19036 0,01311    
2 4,4 3,24445 0,05410 0,04099  
3 4,6 3,36258 0,11812 0,06403 0,02303
P3x=3,17725+0.013110,2x-4+0,040992!0,22x-4x-4,2+0,023033!0,23x-4x-4,2(x-4,4)=0,47979x3-5,53298x2+21,23537x-23,94313
Данную функцию будем интерполировать с помощью второй интерполяционной формулы Ньютона полиномами n=4 ( с пятью знаками после запятой)
xi
yi
∆y0
∆2y0
∆3y0
∆4y0
6 5,2 4,16951 0,33904 0,06624 -0,01149 -0,00204
7 5,4 4,55284 0,38333 0,04428 -0,02195
8 5,6 4,95150 0,39867 0,01534  
9 5,8 5,33414 0,38264    
10 6 5,67193      
P4x=5,67193+0,382640,2x-6+0,015342!0,22x-6x-5,8-0,021953!0,23x-6x-5,8x-5,6--0,002044!0,24x-6x-5,8(x-5,6)(x-5,4)=-0,0531x4+0,754x3-2,2019x2-7,1925x+34,0895
Вычислим значение функции в точке x1=4,1
при помощи первой интерполяционной формулы
P34,1=0,47979*4,13-5,53298*4,12+21,23537*4,1-23,94313=3,1801
Вычислим значение функции в точке x2=5,9
при помощи второй интерполяционной формулы
P45,9=-0,0531*5,94+0,754*5,93-2,2019*5,92-7,1925*5,9+34,0895=5,518
Найдем значение функции в заданных точках, используя частный случай интерполяционных формул (по таблице конечных разностей).
xi
yi
Δу
Δ2у Δ3у Δ4у Δ5у
0 4 3,17725 0,01311 0,04099 0,02303 -0,01011 -0,00204
1 4,2 3,19036 0,05410 0,06403 0,01293 -0,01215 -0,00012
2 4,4 3,24445 0,11812 0,07695 0,00078 -0,01227 0,00181
3 4,6 3,36258 0,19508 0,07773 -0,01149 -0,01046 0,00347
4 4,8 3,55766 0,27281 0,06624 -0,02195 -0,00699 0,00457
5 5 3,83046 0,33904 0,04428 -0,02894 -0,00242 0,00495
6 5,2 4,16951 0,38333 0,01534 -0,03137 0,00253  
7 5,4 4,55284 0,39867 -0,01603 -0,02884    
8 5,6 4,95150 0,38264 -0,04486      
9 5,8 5,33414 0,33778        
10 6 5,67193          
Разности четвертого порядка практически неизменны, в формуле возьмем пять слагаемых
у4,1=3,17725+12*0,01311+0,50,5-12!0,04099+0,50,5-10,5-23!0,02303-0,50,5-10,5-2(0,5-3)4!0,01011=3,180515
у5,9=5,67193-12*0,33778--0,5-0,5+12!0,04486--0,5-0,5+1-0,5+23!0,02884+-0,5-0,5+1-0,5+2(-0,5+3)4!0,00253=5,51035