Задана плотность распределения вероятностей случайного вектора X

Постоянный параметр C и вероятность попадания случайной точки X;Y в области, ограниченную прямыми x=0, x=2, y=0, y=4
Для нахождения постоянной C используем свойство совместной плотности распределения вероятностей
-∞∞-∞∞fx,ydxdy=-22-11Cdxdy=C-22dx-11dy=C-222dx=2C-22dx=2Cx-22=2C2+2=8C=1
8C=1 ⟹C=18
Плотность распределения в прямоугольнике -2≤x≤2, -1≤y≤1 имеет вид
fx,y=18
Найдем вероятность в области
P0≤x≤2, 0≤y≤4=020118dxdy=1802dx01dy=1802dx=28=14=0,25
плотность распределения случайной величины X; условную плотность распределения составляющей Y при условии, что X=x
Найдем плотность распределения случайной величины X в промежутке -2≤x≤2
fx=-∞∞fx,ydy=-1118dy=18∙2=14=0,25
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
fx=0, x<-214, -2≤x≤2 0, x>2
Найдем условную плотность распределения составляющей Y при условии, что X=x следующим образом
fxy=fx,yfx=1814=12=0,5
математическое ожидание и дисперсию случайного вектора X;Y, коэффициент корреляции X и Y
Найдем плотность распределения случайной величины Y в промежутке -1≤y≤1
fy=-∞∞fx,ydx=-2218dx=18∙4=12=0,5
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид
fy=0, y<-112, -1≤y≤1 0, y>1
Математические ожидания
MX=-2214xdx=18x2-22=184-4=0
MY=-1112ydy=14y2-11=181-1=0
00 T – математическое ожидание случайного вектора X;Y.
Дисперсии
DX=-2214x2dx-02=112x3-22=1128+8=1612=43≈1,3333
DY=-1112y2dy-02=16x3-11=161+1=26=13≈0,3333
Так как fx, y=fx∙fy случайные величины независимы, поэтому ковариация
Kxy=0
Ковариационная матрица случайного вектора X;Y имеет вид
Σ=DXKxyKxyDY=430013
Коэффициент корреляции
ρxy=0