Задан закон распределения двумерного дискретного случайного вектора X

Маргинальные законы распределения его компонент X и Y
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2. Вероятности, с которыми X принимает эти значения определим, суммируя соответствующие столбцы исходной таблицы
pi=PX=xi=j=14pij, i=1, 2, 3
p1=PX=0=0,1+0,02+0,05+0,04=0,21
p2=PX=1=0,15+0,15+0,06+0,04=0,4
p3=PX=2=0,1+0,2+0,05+0,04=0,39
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X
0 1 2
pi
0,21 0,4 0,39
Аналогично, суммируя строки исходной таблицы составим закон распределения Y
qj=PY=yj=i=13pij, j=1, 2, 3,4
q1=PY=1=0,1+0,15+0,1=0,35
q2=PY=2=0,02+0,15+0,2=0,37
q3=PY=3=0,05+0,06+0,05=0,16
q4=PY=4=0,04+0,04+0,04=0,12
Закон распределения случайной величины Y имеет вид
Y
1 2 3 4
qj
0,35 0,37 0,16 0,12
функции распределения случайных величин X и Y
Найдем функцию распределения X
Fx=PX<x
Fx=0, x≤00,21, 0<x≤10,21+0,4, 1<x≤21, x>2
Функция распределения X имеет вид
Fx=0, x≤00,21, 0<x≤10,61, 1<x≤21, x>2
Найдем функцию распределения Y
Fy=PY<y
Fy=0, y≤10,35, 1<y≤20,35+0,37, 2<y≤30,35+0,37+0,16, 3<y≤41, y>4
Функция распределения Y имеет вид
Fy=0, y≤10,35, 1<y≤20,72, 2<y≤30,88, 3<y≤41, y>4
функцию их совместного распределения
Функция совместного распределения определяется формулой
Fx, y=PX<x, Y<y
Найдем функцию распределения Fx, y
y≤1
1<y≤2
2<y≤3
3<y≤4
y>4
x≤0
0 0 0 0 0
0<x≤1
0 0,1 0,1+0,02 0,1+0,02+0,05 0,1+0,02+0,05+0,04
1<x≤2
0 0,1+0,15 0,1+0,15+0,02+0,15 0,1+0,15+0,02+
+0,15+0,05+0,06 0,1+0,15+0,02+0,15+
+0,05+0,06+0,04+0,04
x>2
0 0,1+0,15+0,1 0,1+0,15+0,1+
+0,02+0,15+0,2 0,1+0,15+0,1+0,02+
+0,15+0,2+0,05+0,06+0,05 1
Таким образом, значения функции распределения представлены в таблицы
y≤1
1<y≤2
2<y≤3
3<y≤4
y>4
x≤0
0 0 0 0 0
0<x≤1
0 0,1 0,12 0,17 0,21
1<x≤2
0 0,25 0,42 0,53 0,61
x>2
0 0,35 0,72 0,88 1
условные законы распределения случайной величины X при условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2 . Вычислим вероятности PX=xiY=yj.
PX=xiY=yj=PX=xi,Y=yj PY=yj=pijqj
PX=0Y=1=PX=0,Y=1 PY=1=0,10,35≈0,2857
PX=1Y=1=PX=1,Y=1 PY=1=0,150,35≈0,4286
PX=2Y=1=PX=2,Y=1 PY=1=0,10,35≈0,2857
PX=0Y=2=PX=0,Y=2 PY=2=0,020,37≈0,0541
PX=1Y=2=PX=1,Y=2 PY=2=0,150,37≈0,4054
PX=1Y=2=PX=1,Y=2 PY=2=0,20,37≈0,5405
PX=0Y=3=PX=0,Y=3 PY=3=0,050,16=0,3125
PX=1Y=3=PX=1,Y=3 PY=3=0,060,16=0,375
PX=2Y=3=PX=2,Y=3 PY=3=0,050,16=0,3125
PX=0Y=4=PX=0,Y=4PY=4=0,040,12≈0,3333
PX=1Y=4=PX=1,Y=4PY=4=0,040,12≈0,3333
PX=2Y=4=PX=2,Y=4PY=4=0,040,12≈0,3333
Результаты представим в виде таблицы
X
0 1 2
PX=xiY=1
0,2857 0,4286 0,2857
PX=xiY=2
0,0541 0,4054 0,5405
PX=xiY=3
0,3125 0,375 0,3125
PX=xiY=4
0,3333 0,3333 0,3333
Случайная величина Y принимает значения 1, 2, 3, 4. Вычислим вероятности PY=yjX=xi.
PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj PX=xi=pijpi
PY=1X=0=PX=0,Y=1 PX=0=0,10,21≈0,4762
PY=2X=0=PX=0,Y=2 PX=0=0,020,21≈0,0952
PY=3X=0=PX=0,Y=3 PX=0=0,050,21≈0,2381
PY=4X=0=PX=0,Y=4 PX=0=0,040,21≈0,1905
PY=1X=1=PX=1,Y=1 PX=1=0,150,4=0,375
PY=2X=1=PX=1,Y=2 PX=1=0,150,4=0,375
PY=3X=1=PX=1,Y=3 PX=1=0,060,4=0,15
PY=4X=1=PX=1,Y=4 PX=1=0,040,4=0,1
PY=1X=2=PX=2,Y= 1PX=2=0,10,39≈0,2564
PY=2X=2=PX=2,Y= 2PX=2=0,20,39≈0,5128
PY=3X=2=PX=2,Y= 3PX=2=0,050,39≈0,1282
PY=4X=2=PX=2,Y= 4PX=2=0,040,39≈0,1026
Результаты представим в виде таблицы
Y
1 2 3 4
PY=yjX=0
0,4762 0,0952 0,2381 0,1905
PY=yjX=1
0,375 0,375 0,15 0,1
PY=yjX=2
0,2564 0,5128 0,1282 0,1026
числовые характеристики случайных величин X и Y
Математические ожидания
MX=xipi=0∙0,21+1∙0,4+2∙0,39=1,18
MY=yjqj=1∙0,35+2∙0,37+3∙0,16+4∙0,12=2,05
1,182,05 T – математическое ожидание случайного вектора.
Найдем ряд распределения для случайной величины X∙Y
X∙Y
0 1 2 3 4 6 8
Pxy
0,21 0,15 0,25 0,06 0,24 0,05 0,04
Вычислим математическое ожидание случайной величины X∙Y
MX∙Y=0∙0,21+1∙0,15+2∙0,25+3∙0,06+4∙0,24+6∙0,05+8∙0,04=2,41
Ковариация
Kxy=MXY-MX∙MY=2,41-1,18∙2,05=-0,009
Дисперсии
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=02∙0,21+12∙0,4+22∙0,39-1,182=0,4+1,56-1,3924=0,5676
DY=MY2-MY2=yj2qj-MY2=12∙0,35+22∙0,37+32∙0,16+42∙0,12-2,052=0,35+1,48+1,44+1,92-4,2025=0,9875
Среднеквадратические отклонения
σx=DX≈0,5676≈0,7534
σy=DY≈0,9875≈0,9937
Коэффициент корреляции
rxy=Kxyσx∙σy≈-0,0090,7534∙0,9937≈-0,012
Корреляционная матрица случайного вектора имеет вид
Σ=DXKxyKxyDY=0,5676-0,009-0,0090,9875
Обобщенная дисперсия
Σ=0,5676∙0,9875--0,0092≈0,5604
функции регрессии Y на X и X на Y