Задан закон распределения двумерного дискретного случайного вектора X,Y. Найти: 1) маргинальные законы распределения его компонент X и Y; 2) функции распределения случайных величин X и Y; 3) функцию их совместного распределения; 4) условные законы распределения случайной величины X при условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n; 5) числовые характеристики случайных величин X и Y; 6) функции регрессии Y на X и X на Y. Построить линии регрессии. Выяснить, являются ли случайные величины X и Y независимыми.
Y
X
-1 1 2 3
0 0,2 0,1 0,04 0,06
1 0,1 0,04 0,01 0,05
3 0,2 0,1 0,02 0,08
Решение
Маргинальные законы распределения его компонент X и Y
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 3. Вероятности, с которыми X принимает эти значения определим, суммируя соответствующие столбцы исходной таблицы
pi=PX=xi=j=14pij, i=1, 2, 3
p1=PX=0=0,2+0,1+0,04+0,06=0,4
p2=PX=1=0,1+0,04+0,01+0,05=0,2
p3=PX=3=0,2+0,1+0,02+0,08=0,4
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X
0 1 3
pi
0,4 0,2 0,4
Аналогично, суммируя строки исходной таблицы составим закон распределения Y
qj=PY=yj=i=13pij, j=1, 2, 3,4
q1=PY=-1=0,2+0,1+0,2=0,5
q2=PY=1=0,1+0,04+0,1=0,24
q3=PY=2=0,04+0,01+0,02=0,07
q4=PY=3=0,06+0,05+0,08=0,19
Закон распределения случайной величины Y имеет вид
Y
-1 1 2 3
qj
0,5 0,24 0,07 0,19
функции распределения случайных величин X и Y
Найдем функцию распределения Fx=PX<x
Fx=0, x≤00,4, 0<x≤10,4+0,2, 1<x≤31, x>3
Функция распределения X имеет вид
Fx=0, x≤00,4, 0<x≤10,6, 1<x≤31, x>3
Найдем функцию распределения Fy=PY<y
Fy=0, y≤-10,5, -1<y≤10,5+0,24, 1<y≤20,5+0,24+0,07, 2<y≤31, y>3
Функция распределения Y имеет вид
Fy=0, y≤-10,5, -1<y≤10,74, 1<y≤20,81, 2<y≤31, y>3
функцию их совместного распределения
Функция совместного распределения определяется формулой
Fx, y=PX<x, Y<y
Найдем функцию распределения Fx, y
y≤-1
-1<y≤1
1<y≤2
2<y≤3
y>3
x≤0
0 0 0 0 0
0<x≤1
0 0,2 0,2+0,1 0,2+0,1+0,04 0,2+0,1+0,04+0,06
1<x≤3
0 0,2+0,1 0,2+0,1+0,1+0,04 0,2+0,1+0,04+
+0,1+0,04+0,01 0,2+0,1+0,04+0,06+
+0,1+0,04+0,01+0,05
x>3
0 0,2+0,1+0,2 0,2+0,1+0,1+
+0,04+0,2+0,1 0,2+0,1+0,04+0,1+0,04+
+0,01+0,2+0,1+0,02 1
Таким образом, значения функции распределения представлены в таблицы
y≤-1
-1<y≤1
1<y≤2
2<y≤3
y>3
x≤0
0 0 0 0 0
0<x≤1
0 0,2 0,3 0,34 0,4
1<x≤3
0 0,3 0,44 0,49 0,6
x>3
0 0,5 0,74 0,81 1
условные законы распределения случайной величины X при условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 3
. Вычислим вероятности PX=xiY=yj.
PX=xiY=yj=PX=xi,Y=yj PY=yj=pijqj
PX=0Y=-1=PX=0,Y=-1 PY=-1=0,20,5=0,4
PX=1Y=-1=PX=1,Y=-1 PY=-1=0,10,5=0,2
PX=3Y=-1=PX=3,Y=-1 PY=-1=0,20,5=0,4
PX=0Y=1=PX=0,Y=1 PY=1=0,10,24≈0,4167
PX=1Y=1=PX=1,Y=1PY=1=0,040,24≈0,1667
PX=3Y=1=PX=3,Y=1PY=1=0,10,24≈0,4167
PX=0Y=2=PX=0,Y=2PY=2=0,040,07≈0,5714
PX=1Y=2=PX=1,Y=2PY=2=0,010,07≈0,1429
PX=3Y=2=PX=3,Y=2PY=2=0,020,07≈0,2857
PX=0Y=3=PX=0,Y=3PY=3=0,060,19≈0,3158
PX=1Y=3=PX=1,Y=3PY=3=0,050,19≈0,2632
PX=3Y=3=PX=3,Y=3PY=3=0,080,19≈0,4211
Результаты представим в виде таблицы
X
0 1 3
PX=xiY=-1
0,4 0,2 0,4
PX=xiY=1
0,4167 0,1667 0,4167
PX=xiY=2
0,5714 0,1429 0,2857
PX=xiY=3
0,3159 0,2632 0,4211
Случайная величина Y принимает значения -1; 1; 2; 3. Вычислим вероятности PY=yjX=xi.
PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj PX=xi=pijpi
PY=-1X=0=PX=0,Y=-1 PX=0=0,20,4=0,5
PY=1X=0=PX=0,Y=1PX=0=0,10,4=0,25
PY=2X=0=PX=0,Y=2PX=0=0,040,4=0,1
PY=3X=0=PX=0,Y=3PX=0=0,060,4=0,15
PY=-1X=1=PX=1,Y=-1PX=1=0,10,2=0,5
PY=1X=1=PX=1,Y=1PX=1=0,040,2=0,2
PY=2X=1=PX=1,Y=2PX=1=0,010,2=0,05
PY=3X=1=PX=1,Y=3PX=1=0,050,2=0,25
PY=-1X=3=PX=3,Y= -1PX=3=0,20,4=0,5
PY=1X=3=PX=3,Y= 1PX=3=0,10,4=0,25
PY=2X=3=PX=3,Y=2PX=3=0,020,4=0,05
PY=3X=3=PX=3,Y=3PX=3=0,080,4=0,2
Результаты представим в виде таблицы
Y
-1 1 2 3
PY=yjX=0
0,5 0,25 0,1 0,15
PY=yjX=1
0,5 0,2 0,05 0,25
PY=yjX=3
0,5 0,25 0,05 0,2
числовые характеристики случайных величин X и Y
Математические ожидания
MX=xipi=0∙0,4+1∙0,2+3∙0,4=0,2+1,2=1,4
MY=yjqj=-1∙0,5+1∙0,24+2∙0,07+3∙0,19=-0,5+0,24+0,14+0,57=0,45
1,40,45 T – математическое ожидание случайного вектора.
Найдем ряд распределения для случайной величины X∙Y
X∙Y
-3 -1 0 1 2 3 6 9
Pxy
0,2 0,1 0,4 0,04 0,01 0,15 0,02 0,08
Вычислим математическое ожидание случайной величины X∙Y
MX∙Y=-3∙0,2-1∙0,1+0∙0,4+1∙0,04+2∙0,01+3∙0,15+6∙0,02+9∙0,08=-0,6-0,1+0,04+0,02+0,45+0,12+0,72=0,65
Ковариация
Kxy=MXY-MX∙MY=0,65-1,4∙0,45=0,02
Дисперсии
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=02∙0,4+12∙0,2+32∙0,4-1,42=0,2+3,6-1,96=1,84
DY=MY2-MY2=yj2qj-MY2=-12∙0,5+12∙0,24+22∙0,07+32∙0,19-0,452=0,5+0,24+0,28+1,71-0,2025=2,5275
Среднеквадратические отклонения
σx=DX≈1,84≈1,3565; σy=DY≈2,5275≈1,5898
Коэффициент корреляции
rxy=Kxyσx∙σy≈0,021,3565∙1,5898≈0,0093
Корреляционная матрица случайного вектора имеет вид
Σ=DXKxyKxyDY=1,840,00930,00932,5275
Обобщенная дисперсия Σ=1,84∙2,5275-0,00932≈4,6505.
функции регрессии Y на X и X на Y
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
