Задан закон распределения двумерного дискретного случайного вектора X,Y. Найти: 1) маргинальные законы распределения его компонент X и Y; 2) функции распределения случайных величин X и Y; 3) функцию их совместного распределения; 4) условные законы распределения случайной величины X ри условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n; 5) числовые характеристики случайных величин X и Y; 6) функции регрессии Y на X и X на Y. Построить линии регрессии. Выяснить, являются ли случайные величины X и Y независимыми.
Y
X
1 2 3
0 0,1 0,3 0,18
1 0,16 0,1 0,06
2 0,04 0,04 0,02
Решение
Маргинальные законы распределения его компонент X и Y
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2. Вероятности, с которыми X принимает эти значения определим, суммируя соответствующие столбцы исходной таблицы
pi=PX=xi=j=13pij, i=1, 2, 3
p1=PX=0=0,1+0,3+0,18=0,58
p2=PX=1=0,16+0,1+0,06=0,32
p3=PX=2=0,04+0,04+0,02=0,1
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X
0 1 2
pi
0,58 0,32 0,1
Аналогично, суммируя строки исходной таблицы составим закон распределения Y
qj=PY=yj=i=13pij, j=1, 2, 3
q1=PY=1=0,1+0,16+0,04=0,3
q2=PY=2=0,3+0,1+0,04=0,44
q3=PY=3=0,18+0,06+0,02=0,26
Закон распределения случайной величины Y имеет вид
Y
1 2 3
qj
0,3 0,44 0,26
функции распределения случайных величин X и Y
Найдем функцию распределения X
Fx=PX<x
Fx=0, x≤00,58, 0<x≤10,58+0,32, 1<x≤21, x>2
Функция распределения X имеет вид
Fx=0, x≤00,58, 0<x≤10,9, 1<x≤21, x>2
Найдем функцию распределения Y
Fy=PY<y
Fy=0, y≤10,3, 1<y≤20,3+0,44, 2<y≤31, y>3
Функция распределения Y имеет вид
Fy=0, y≤10,3, 1<y≤20,74, 2<y≤31, y>3
функцию их совместного распределения
Функция совместного распределения определяется формулой
Fx, y=PX<x, Y<y
Найдем функцию распределения Fx, y
y≤1
1<y≤2
2<y≤3
y>3
x≤0
0 0 0 0
0<x≤1
0 0,1 0,1+0,3 0,1+0,3+0,18
1<x≤2
0 0,1+0,16 0,1+0,3+0,16+0,1 0,1+0,3+0,18+0,16+0,1+0,06
x>2
0 0,1+0,16+0,04 0,1+0,3+0,16+0,1+0,04+0,04 1
Таким образом, значения функции распределения представлены в таблицы
y≤1
1<y≤2
2<y≤3
y>3
x≤0
0 0 0 0
0<x≤1
0 0,1 0,4 0,58
1<x≤2
0 0,26 0,66 0,9
x>2
0 0,3 0,74 1
условные законы распределения случайной величины X при условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2
. Вычислим вероятности PX=xiY=yj.
PX=xiY=yj=PX=xi,Y=yj PY=yj=pijqj
PX=0Y=1=PX=0,Y=1 PY=1=0,10,3≈0,3333
PX=1Y=1=PX=1,Y=1 PY=1=0,160,3≈0,5333
PX=2Y=1=PX=2,Y=1 PY=1=0,040,3≈0,1333
PX=0Y=2=PX=0,Y=2 PY=2=0,30,44≈0,6818
PX=1Y=2=PX=1,Y=2 PY=2=0,10,44≈0,2273
PX=1Y=2=PX=1,Y=2 PY=2=0,040,44≈0,0909
PX=0Y=3=PX=0,Y=3 PY=3=0,180,26≈0,6923
PX=1Y=3=PX=1,Y=3 PY=3=0,060,26≈0,2308
PX=2Y=3=PX=2,Y=3 PY=3=0,020,26≈0,0769
Результаты представим в виде таблицы
X
0 1 2
PX=xiY=1
0,3333 0,5333 0,1333
PX=xiY=2
0,6818 0,2273 0,0909
PX=xiY=3
0,6923 0,2308 0,0769
Случайная величина Y принимает значения 1, 2, 3. Вычислим вероятности PY=yjX=xi.
PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj PX=xi=pijpi
PY=1X=0=PX=0,Y=1 PX=0=0,10,58≈0,1724
PY=2X=0=PX=0,Y=2 PX=0=0,30,58≈0,5172
PY=3X=0=PX=0,Y=3 PX=0=0,180,58≈0,3103
PY=1X=1=PX=1,Y=1 PX=1=0,160,32=0,5
PY=2X=1=PX=1,Y=2 PX=1=0,10,32=0,3125
PY=3X=1=PX=1,Y=3 PX=1=0,060,32=0,1875
PY=1X=2=PX=2,Y= 1PX=2=0,040,1=0,4
PY=2X=2=PX=2,Y= 2PX=2=0,040,1=0,4
PY=3X=2=PX=2,Y= 3PX=2=0,020,1=0,2
Результаты представим в виде таблицы
Y
1 2 3
PY=yjX=0
0,1724 0,5172 0,3103
PY=yjX=1
0,5 0,3125 0,1875
PY=yjX=2
0,4 0,4 0,2
числовые характеристики случайных величин X и Y
Математические ожидания
MX=xipi=0∙0,58+1∙0,32+2∙0,1=0,52
MY=yjqj=1∙0,3+2∙0,44+3∙0,26=1,96
0,521,96 T – математическое ожидание случайного вектора.
Найдем ряд распределения для случайной величины X∙Y
X∙Y
0 1 2 3 4 6
Pxy
0,58 0,16 0,14 0,06 0,04 0,02
Вычислим математическое ожидание случайной величины X∙Y
MX∙Y=0∙0,58+1∙0,16+2∙0,14+3∙0,06+4∙0,04+6∙0,02=0,9
Ковариация
Kxy=MXY-MX∙MY=0,9-0,52∙1,96=-0,1192
Дисперсии
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=02∙0,58+12∙0,32+22∙0,1-0,522=0,72-0,2704=0,4496
DY=MY2-MY2=yj2qj-MY2=12∙0,3+22∙0,44+32∙0,26-1,962=4,4-3,8416=0,5584
Среднеквадратические отклонения
σx=DX≈0,4496≈0,6705
σy=DY≈0,5584≈0,7473
Коэффициент корреляции
rxy=Kxyσx∙σy≈-0,11920,6705∙0,7473≈-0,2379
Корреляционная матрица случайного вектора имеет вид
Σ=DXKxyKxyDY=0,4496-0,1192-0,11920,5584
Обобщенная дисперсия
Σ=0,4496∙0,5584--0,11922≈0,2368
функции регрессии Y на X и X на Y
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
