Являются ли следующие преобразования векторного пространства R3 линейным

Φx=x1-2x3;x1+x2;x2-5.
Запишем базис пространства: e1=1;0;0; e2=0;1;0; e3=0;0;1.
Это значит, что произвольный вектор линейного пространства может быть записан в виде:
x=x1e1+x2e2+x3e3
Пусть заданы два произвольных вектора x и y, принадлежащие R3. В соответствии с определением операций суммы векторов:
x+y=x1+y1;x2+y2;x3+y3
λx=λx1;λx2;λx3
Запишем векторы-образы для векторов участвующих в доказательстве линейности φ:
φy=y1-2y3;y1+y2;y2-5
φλx=λx1-2x3;λx1+x2;λx2-5
Докажем линейность данного оператора:
1) φx+y=x1-2x3+y1-2y3;x1+x2+y1+y2;x2-5+y2-5=φy+ φx; ∀x,y∈R3;
2) φλx=x1-2x3;λx1+x2;λx2-5=λx1-2x3;x1+x2;x2-5=λφx; ∀x∈R3, ∀λ∈R.
Так как выполнены оба условия, определяющие линейное преобразование, то преобразование является линейным.
Для построения матрицы линейного оператора φx найдем образы базисных векторов:
φe1=1-2∙0;1+0;0-5=1;1;-5
φe2=0-2∙0;0+1; 1-5=0;1;-4
φe3=0-2∙1;0+0;0-5=-2;0;-5
Из полученных векторов составим матрицу линейного оператора в стандартном базисе
φ=11-501-4-20-5
φx=x1+x2-x3;x1-x3;x3.
Запишем базис пространства: e1=1;0;0; e2=0;1;0; e3=0;0;1.
Это значит, что произвольный вектор линейного пространства может быть записан в виде: x=x1e1+x2e2+x3e3.
Пусть заданы два произвольных вектора x и y, принадлежащие R3