Y'-yx+1=1 y(0) = 1 0

1) Данное уравнение является линейным. Его решение найдем методом произведения. Пусть y=uv, тогда y'=u'v+uv'.
Подставив в уравнение получим
u'v+uv'-uvx+1=1 или u'v+u(v'-vx+1)=1
Пусть v'-vx=0, то есть dvv=dxx+1; v=x+1 – одно из решений.
Тогда u'(x+1)=1 или u'=1x+1. Отсюда u=ln⁡(x+1)+C, следовательно, y=x+1lnx+1+C(x+1).
Так как по условию y0=1, то 1=C, C=1.
Решением задачи Коши является y=x+1(lnx+1+1).
y2=3(ln3+1)=6,3
2) Для нахождения приближенного решения уравнения y'=f(x;y) на отрезке a;b разобьем отрезок на десять равных частей шагом h=b-an=0,1.
На каждом из полученных частичных отрезков xk;xk+1, k=0,1,…,9, график интегральной кривой заменяем графиком касательной, проведенной через точку xk . За приближенное значение решения в точке xk+1 принимаем значение ординаты графика касательной.
Итерационная формула процесса имеет вид:
yk+1=yk+h*yk', где yk'=f(xk;yk), таким образом, yk+1=yk+h*f(xk;yk).
В нашей задаче y'=lnx+1+2, fx;y=lnx+1+2, h=b-an=1-010=0,1.
Следовательно, имеем итерационную формулу
yk+1=yk+0,1*ln(xk+1)+2
Начальное условие y0=1