Выяснить какие из преобразований трехмерного арифметического пространства R3 являются линейными. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Выяснить какие из преобразований трехмерного арифметического пространства R3 являются линейными

Выяснить какие из преобразований трехмерного арифметического пространства R3 являются линейными .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Выяснить какие из преобразований трехмерного арифметического пространства R3 являются линейными. Для линейных преобразований найти: а) матрицу в каноническом базисе б) дефект в) образ, ядро, а также построить базисы образа и ядра fx=x1+x2+x3;2x1+2x2+2x3;x1+x2+x3 φx=(x1+5x2+x3;x2;x3-1)

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Проверим выполнимость свойств линейного преобразования:
Пусть x=x1;x2;x3, y=y1;y2;y3, тогда:
x+y=x1+y1;x2+y2;x3+y3
λx=λx1;λx2;λx3
fx+y=(x1+y1+x2+y2+x3+y3;2x1+y1+2x2+y2+2x3+y3;
x1+y1+x2+y2+x3+y3)=x1+x2+x3;2x1+2x2+2x3;x1+x2+x3+
+y1+y2+y3;2y1+2y2+2y3;y1+y2+y3=fx+fy
fλx=λx1+λx2+λx3;2λx1+2λx2+2λx3;λx1+λx2+λx3=
=λ(x1+x2+x3);λ(2x1+2x2+2x3);λ(x1+x2+x3)=
=λ∙x1+x2+x3;2x1+2x2+2x3;x1+x2+x3=λ∙fx
Оба свойства выполняются, поэтому данное преобразование линейное
fx=fx1x2x3=x1+x2+x32x1+2x2+2x3x1+x2+x3
Найдем образы векторов канонического базиса:
fe1=f100=121, fe2=f010=121, fe3=f001=121
fe=111222111
defect f+rg f=3 => defect f=3-rg f
Найдем ранг матрицы . Для этого элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:
111222111~Iстр∙-2+IIстрIстр∙-1+IIIстр~111000000
rg f=1 => defect f=3-1=2
Im f=Lfe1,fe2,fe3
Образ преобразования совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы fe, поэтому за базис Im f можно взять любой из базисов системы столбцов матрицы fe
im f=La1
a1=fe1=121
Вектор x принадлежит ядру преобразования, если:
φx=0
111222111∙x1x2x3=000
111222111~111000000~111
x1+x2+x3=0
x1=-x2-x3
Пусть x2=α1; x3=0 => x1=-α1
Пусть x2=0; x3=α2 => x1=-α2
x=α1∙-110+α2∙-101, b1=-110, b2=-101
kerf=L(b1,b2)
2) Проверим выполнимость свойств линейного преобразования для преобразования φ
Проверим выполнимость свойств линейного преобразования:
Пусть x=x1;x2;x3, y=y1;y2;y3, тогда:
x+y=x1+y1;x2+y2;x3+y3
λx=λx1;λx2;λx3
φλx=λx1+5λx2+λx3;λx2;λx3-1=λx1+5x2+x3;λx2;λx3-1λ=
=λ∙x1+5x2+x3;x2;x3-1λ≠λφx
Преобразование φ не является линейным

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу