Выполнить задания двумя способами а) Найти приближенное решение задачи Коши методом Эйлера

А. Теоретическая справка
А.1. Метод Эйлера численного решения задачи Коши y'=fx;y, yx0=y0 на заданном отрезке с шагом h заключает в последовательном вычислении значений:
yi+1=yi+hfxi;yi
Т.е. получаем ряд точек (xi;yi), приближенно соответствующих решению задачи Коши.
А.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
Согласно методу Рунге-Кутты вычисления на каждом шаге итерации имеют вид:
yi+1=yi+∆yi;∆yi=16(k1i+2k2i+2k3i+k4i)
Где коэффициенты вычисляются по формулам:
k1i=hfxi,yi
k2i=hfxi+h2, yi+k1i2
k3i=hfxi+h2, yl+k2i2
k4i=hfxi+h, yl+k3i
Б. Решение уравнения
xy'-2y=2x4,y1=2,a;b=1;2,5, h=0,1
Б.1. Аналитическое решение
Решаем соответствующее однородное уравнение:
xy'-2y=0
xdydx=2y
dyy=2dxx
dyy=2dxx
lny=2lnx+lnc
y=cx2
Решение неоднородного ищем в виде y=cxx2. Тогда y'=x2c'+2xc. Подставляем в исходное:
xx2c'+2xc-cx2=2x4
c'=2x
c=x2+c1
И общее решение:
y=x2+c1x2
y=x4+c1x2
Используем начальное условие y1=2:
2=1+c1 c1=1
И решение задачи Коши:
y=x4+x2
Б.2. Решение методом Эйлера
Записываем уравнение в виде y'=fx,y:
y'=2yx+2x3
И выполняем расчеты по формуле:
yi+1=yi+0,12yixi+2xi3
Результаты вычислений представим таблицей:
x
y
1 2
1,1 2,6
1,2 3,3389
1,3 4,241
1,4 5,3329
1,5 6,6435
1,6 8,2043
1,7 10,049
1,8 12,2138
1,9 14,7373
2 17,6604
2,1 21,0264
2,2 24,8811
2,3 29,2726
2,4 34,2514
2,5 39,8705
Б.3. Решение методом Рунге-Кутта
Записываем уравнение в виде y'=fx,y:
y'=2yx+2x3
И выполняем расчеты по формулам:
yi+1=yi+∆yi;∆yi=16(k1i+2k2i+2k3i+k4i)
Где коэффициенты вычисляются по формулам:
k1i=0,12yixi+2xi3
k2i=0,12yi+k1i2xi+0,05+2xi+0,053
k3i=0,12yi+k2i2xi+0,05+2xi+0,053
k4i=0,12yi+k3ixi+0,1+2xi+0,13
Результаты вычислений представим таблицей:
x
y
k1
k2
k3
k4
1 2
1,1 2,6741 0,6 0,6696 0,6762 0,7528
1,2 3,5136 0,7524 0,8347 0,8418 0,9316
1,3 4,5461 0,9312 1,0273 1,035 1,1392
1,4 5,8016 1,1388 1,2499 1,2582 1,378
1,5 7,3125 1,3776 1,505 1,5137 1,6504
1,6 9,1136 1,65 1,7948 1,8041 1,9588
1,7 11,2421 1,9584 2,1218 2,1317 2,3056
1,8 13,7376 2,3052 2,4884 2,4989 2,6932
1,9 16,6421 2,6928 2,897 2,9081 3,124
2 20 3,1236 3,35 3,3617 3,6004
2,1 23,8581 3,6 3,8499 3,862 4,1248
2,2 28,2656 4,1244 4,3989 4,4116 4,6996
2,3 33,2741 4,6992 4,9995 5,0128 5,3272
2,4 38,9376 5,3268 5,6541 5,668 6,01
2,5 45,3125 6,0096 6,3651 6,3796 6,7504
Представим в одной таблице результаты, полученные разными методами, и их погрешности:
x
yточ
Метод Эйлера Метод Рунге-Кутта
y
y-yточ
y
y-yточ
1 2 2 0 2 0
1,1 2,6741 2,6 0,0741 2,6741 0
1,2 3,5136 3,3389 0,1747 3,5136 0
1,3 4,5461 4,241 0,3051 4,5461 0
1,4 5,8016 5,3329 0,4687 5,8016 0
1,5 7,3125 6,6435 0,669 7,3125 0
1,6 9,1136 8,2043 0,9093 9,1136 0
1,7 11,2421 10,049 1,1931 11,2421 0
1,8 13,7376 12,2138 1,5238 13,7376 0
1,9 16,6421 14,7373 1,9048 16,6421 0
2 20 17,6604 2,3396 20 0
2,1 23,8581 21,0264 2,8317 23,8581 0
2,2 28,2656 24,8811 3,3845 28,2656 0
2,3 33,2741 29,2726 4,0015 33,2741 0
2,4 38,9376 34,2514 4,6862 38,9376 0
2,5 45,3125 39,8705 5,442 45,3125 0
В . Решение уравнения
x2y'+xy=-1,y0=1,a;b=0;3, h=0,2
В.1. Аналитическое решение
Решаем соответствующее однородное уравнение:
x2y'+xy=0
x2dydx=-xy
dyy=-dxx
dyy=-dxx
lny=-lnx+lnc
y=cx
Решение неоднородного ищем в виде y=cxx. Тогда y'=c'x-cx2. Подставляем в исходное:
x2c'x-cx2+x∙cx=-1
xc'=-1
c'=-1x
c=-ln(x)+c1
И общее решение:
y=-lnxx+c1x
Поскольку начальное условие y0=1 использовать невозможно, то будем считать, что a=1, т.е. начальное условие y1=1. Тогда:
1=0+c1 c1=1
И решение задачи Коши:
y=1-lnxx
В.2