Вычислите указанную сумму целых чисел j=1n3j3+j2

J=1n3j3+j2=3j=1nj3+j=1nj2.
Обозначим Sn(k)= j=1njk.
Имеем: Sn+14= Sn4+(n+1)4=Sn4+n4+4n3+6n2+4n+1.
С другой стороны, Sn+14= j=0n(j+1)4=j=0n(j4+4j3+6j2+4j+1)=
=Sn4+4Sn3+6Sn2+4Sn1+ n+1.(1)
Отсюда получаем: Sn4+n4+4n3+6n2+4n+1 =
=Sn4+4Sn3+6Sn2+4Sn1+n+1.(2)
Sn1=n(n+1)2 - это сумма n членов арифметической прогрессии.
Sn+13= Sn3+(n+1)3=Sn3+n3+3n2+3n+1.
С другой стороны, Sn+13= j=0nj+13=j=0n(j3+3j2+3j+1)=
=Sn3+3Sn2+3Sn1+ n+1.
Следовательно, Sn3+n3+3n2+3n+1=Sn3+3Sn2+3Sn1+n+1