Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников

Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить заданный интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок интегрирования разбит на n=2 и n=4 равные части. Оценить погрешность результата и сравнить приближенные значения интеграла с точным. 0π/2xcosxdx Ι=π2-1≈0.571

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Вычислим интеграл методом левых, правых и средних прямоугольников.
abf(x)dx≈h⋅f(x0)+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1) - формула левых прямоугольников
abf(x)dx≈h⋅f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xn) - формула правых прямоугольников
abf(x)dx≈h⋅f(x0+h2)+f(x1+h2)+f(x2+h2)+...+f(xn-1+h2)- формула средних прямоугольников
n=4, h=b-a4=π2-04=0.3927
n x f(x) x+h/2 f(x+h/2)
0 0 0,0000 0,1963 0,1926
1 0,3927 0,3628 0,5890 0,4898
2 0,7854 0,5554 0,9817 0,5454
3 1,1781 0,4508 1,3744 0,2681
4 1,5708 0,0000
Iлев.прям≈0,39270+0,3628+0,5554+0,4508=0,5376
Iправ.прям≈0,39270,3628+0,5554+0,4508+0=0,5376
Iсред.прям≈0,39270,1926+0,4898+0,5454+0,2681=0,5874
n=2, h=b-a2=π2-02=0,7854
n x f(x) x+h/2 f(x+h/2)
0 0 0,0000 0,3927 0,3628
1 0,7854 0,5554 1,1781 0,4508
2 1,5708 0,0000
Iлев.прям≈0,78540+0,5554=0,4362
Iправ.прям≈0,78540,5554+0=0,4362
Iсред.прям≈0,78540,3628+0,4508=0,639
Оценим погрешность по правилу Рунге и уточним результаты с учетом погрешности.
I=Ih+Ih-I2h2p-1+O(hp+1) где p –порядок точности метода
Iлев.прям(h)-Iлев.прям(2h)=0.5376-0,4362≈0,1
Iправ.прям(h)-Iправ.прям(2h)=0.5376-0,4362≈0,1
Iсред.прямh-Iсред.прям2h=0.5874-0,6393≈-0,017
Iлев.прям=0,5376+0,1=0,6376
Iправ.прям=0,5376+0,1=0,6376
Iсред.прям=0,5874-0,017=0,5704
Вычислим интеграл методом трапеций.
abf(x)dx≈h⋅f(x0)+f(xn)2+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)- формула трапеций
n=4, h=0.3927
Iтрап.≈0,39270+02+0,3628+0,5554+0,4508=0,5376
n=2, h=0,7854
Iтрап≈0,78540+02+0,5554=0,4362
Оценим погрешность по правилу Рунге.
Iтрап(h)-Iтрап(2h)=0,5376-0,43623≈0,034
Iтрап=0,5376+0,034=0,5716
Вычислим интеграл методом Симпсона.
abf(x)dx≈h3⋅f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn) - формула Симпсона
n=4, h=0.3927
IСимп≈0,392730+4∙0,3628+0,4508+2∙0,5554+0=0,5714
n=2, h=0,7854
Iтрап≈0,785430+4∙0,5554+0=0,5816
Оценим погрешность по правилу Рунге.
IСимпh-IСимп2h=0,5714-0,581615≈-0,00068
IСимп=0.5714-0,00068=0,5707
При сравнении с точным значением интеграла Ι=π2-1≈0.571, видим, что приближенное значение интеграла, найденное по методу Симпсона, самое близкое к точному.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу