Вычислить приближенное значение интеграла. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить приближенное значение интеграла

Вычислить приближенное значение интеграла .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить приближенное значение интеграла, используя квадратурные формулы а) центральных прямоугольников с шагом h=0.4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0.4 и h=0.2; оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0.4. Указание. Промежуточные результаты вычислить с шестью значащими цифрами. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах. 3.24.8ecosxdx

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

А) Используя формулу центральных прямоугольников
abf(x)dx≈h⋅f(x0+h2)+f(x1+h2)+f(x2+h2)+...+f(xn-1+h2)
вычислим интеграл с шагом h=0.4.
x f(x) x+h/2 f(x+h/2)
3,2 0,368507 3,4 0,380299
3,6 0,407890 3,8 0,453406
4 0,520147 4,2 0,612467
4,4 0,735406 4,6 0,893908
4,8 1,091441
I≈Iпрцентр≈0.4⋅(0.380299+0.453406+0.612467+0.893908)≈0.936032
Для априорной оценки погрешности воспользуемся формулой:
|I-Iпр|≤M224(b-a)h2
M2=maxx∈[2;3.6]f''x
f''x=ecosxsin2x-ecosxcosx
M2=maxx∈[3.2;4.8]f''4.8≈0.99
I-Iцентр.пр≤0.99244.8-3.20.42≈0.011
б) Используя формулу трапеций:
abf(x)dx≈h⋅f(x0)+f(xn)2+f(x1)+...+f(xn-1), вычислим интеграл.
При h=0.4
n x f(x)
0 3,2 0,368507
1 3,6 0,407890
2 4,0 0,520147
3 4,4 0,735406
4 4,8 1,091441
I≈Iтр≈0,4(0.3685072+1.0914412+0.40789+0.520147+0.735406)≈0.957367
При h=0.2
n x f(x)
0 3,2 0,368507
1 3,4 0,380299
2 3,6 0,407890
3 3,8 0,453406
4 4,0 0,520147
5 4,2 0,612467
6 4,4 0,735406
7 4,6 0,893908
8 4,8 1,091441
I≈Iтр≈0,2(0.3685072+1.0914412+0.380299+0.40789+0.453406+0.520147+0.612467+0.735406+0.893908)≈0.946699
Погрешность по правилу Рунге:
I-IТР(h)≈|IТР(h)-IТР(2h)|3
I-IТР(h)≈|0.946699-0.957367|3≈0.0036
Iтр=0.9467±0.0036
в) Используя формулу Симпсона
abf(x)dx≈h3⋅f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn)
вычислим интеграл с шагом h=0.4.
n x f(x)
0 3,2 0,368507
1 3,6 0,407890
2 4,0 0,520147
3 4,4 0,735406
4 4,8 1,091441
I≈IСимп≈0.43(0.368507+1.091441+40.40789+0.735406+2∙0.520147)≈0.943123

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу