Вычислить приближенное значение интеграла abfxdx, используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2 оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0,4.
fx=sin1x
a=2,7,
b=4,3
Решение
A) Метод прямоугольников:
Iпрh=hi=1nfi-1/2
Таблица значений функции:
2,9 3,3 3,7 4,1
0,338034 0,298414 0,266992 0,241491
Iпрh=0,4*0,338034+0,298414+0,266992+0,241491=0,45797
Априорная оценка погрешности:
I-Iпрh≤M224(b-a)h2
fx=sin1x
f'x=-cos1xx2
f''x=2cos1xx3-sin1xx4
M2=max[2,7;4,3]f''x=0,088
I-Iпрh≤0,088244,3-2,7*0,42=0,001
б) метод трапеций:
Iтрh=hf0+fn2+i=1n-1fi
h=0,4
Таблица значений функции:
2,7 3,1 3,5 3,9 4,3
0,361961 0,317015 0,281843 0,25361 0,230468
Iтрh=0,4*0,361961+0,2304682+0,317015+0,281843+0,25361=0,459473
h=0,2
Таблица значений функции:
2,7 2,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9 4,1 4,3
0,361961 0,338034 0,317015 0,298414 0,281843 0,266992 0,25361 0,241491 0,230468
Iтрh=0,458723
I-Iтрh≈Iтрh-Iтр2h3=-0,00025
Уточненное по Рунге значение:
Iтрh+Iтрh-Iтр2h3=0,458473
в) Формула Симпсона:
IСh=h6f0+fn+2i=1n-1fi+4i=1n-1fi-1/2
IСh=0,46(0,361961+0,230468+4*0,338034+0,298414+0,2669919+0,2414914+2*(0,317015+0,281843+0,25361))=0,45847.
на новый заказ в Автор24.
