Вычислить площадь фигур ограниченных графиками функций 14 17. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить площадь фигур ограниченных графиками функций 14 17

Вычислить площадь фигур ограниченных графиками функций 14 17 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить площадь фигур, ограниченных графиками функций. 14.17 x=ey-1, 1 x=0, 2 y=ln2. (3) Решение Для определения границ интегрирования решим совместно данные уравнения. x=ey-1=eln2-1=2-1=1. График функции (1) и прямая, параллельная оси абсцисс (3) пересекаются в точке 1, ln2. x=0=ey-1⟹ey-1=0⟹y=0. Кривая (1) и ось ординат (2) пересекаются в начале координат (см. рис.). centerbottomln2 y=ln2 y x=ey-1 x S 00ln2 y=ln2 y x=ey-1 x S Искомая площадь S равна разности площади прямоугольника под функцией y=ln2 и криволинейной трапеции под функцией x=ey-1. Из (1) выражаем y ey=x2+1 y=lnx2+1. Тогда S=ln2-01lnx2+1dx=ln2-01lnx2+1dx Интеграл 01lnx2+1dx Вычислим по частям. lnx2+1dx=подстановкаu=lnx2+1dv=dxdu=2xx2+1dxv=x. По формуле интегрирования по частям udv=uv-vdu; lnx2+1dx=xlnx2+1-x∙2xx2+1dx= =xlnx2+1-2x2x2+1dx=xlnx2+1-2-2x2+1dx= =xlnx2+1-2x+2dxx2+1=xlnx2+1-2x+2arctgx. Тогда 01lnx2+1dx= LINK Word.Document.12 "C:\\Users\\Гагик\\Desktop\\В работе 36\\3.5.20. Матем. (Площади между графиками.).docx" "OLE_LINK1" \a \r xlnx2+1-2x+2arctgx01=ln2-2+π2. Искомая площадь S=ln2-ln2+2-π2=2-π2 S=2-π2. Ответ: S=2-π/2. 15.17 x=6cos3t;y=4sin3t -3810300355y x S 00y x S

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

S=72π. (графики построены по программе сайта http://grafikus.ru).

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Определим точки пересечения графика функции (это, т.н., вытянутая астроида) с координатными осями.
При t=0 x=6;y=0. t=π x=-6;y=0.
t=±π2 x=0;y=±4.
Кривая ограничена этими значениями, т.к. x≤6, y≤4.
Для определения площади фигуры можем пользоваться готовой формулы определения площади, ограниченной кривой, заданной параметрически, или же освободившись от параметра, получить явное уравнение и пользоваться формулой площади, для графика явной функции.
Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти . Для этой области x∈0;6. На этом промежутке функция монотонно убывает, поэтому можно применить формулу для площади, ограниченной графиком, при параметрическом задании функции.
Определим границы интегрирования α и β.
6cos3t=0⟺α=π2+πk, k∈Z.
6cos3t=6⟺β=2πk, k∈Z.
При k=0 получаем интервал [β;α]=[0;π/2]? На котором данная функция монотонно убывает

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу