Вычислить интегралы 3x-e2x+1dx, dx2x+3, 2x21-x3dx

1)3x-e2x+1dx=3xdx-e2xdx+dx=3x22-e2x2+x+C.
2)dx2x+3=замена t=2x+3, dt=2dx=dt2t=t+C=
=обратная замена=2x+3+C.
3)2x21-x3dx=замена t=1-x3, dt=-3x2dx⟹dx=-dt3x2=
=-23dtt=-43t+C=обратная замена=-431-x3+C.
4)dx2+x=замена t=2+x, dt=dx=dtt=lnt+C=ln2+x+C.
5)cos3x1+sin3xdx=замена t=1+sin3x, dt=3cos3xdx⟹⟹dx=dt3cos3x=
=13dtt=lnt3+C=обратная замена=ln1+sin3x3+C.
6)ex1+e2xdx=замена t=ex, dt=exdx⟹dx=dtex=
=dt1+t2=arctgt+C=обратная замена=arctgex+C.
7)3x2xdx=замена t=x2, dt=2xdx⟹dx=dt2x=
=123tdt=3tln32+C=3x22ln3+C.
8)tg8xdx=sin8xcos8xdx=замена t=cos8x, dt=-8sin8x⟹⟹dx=-dt8sin8x
=-18dtt=-lnt8+C=обратная замена=-lncos8x8+C.
9)dxsin22x=замена t=2x, dt=2dx=12dtsin2t=-ctgt2+C=
=-ctg2x2+C.
10)dxx2+6x-1;
Выделим полный квадрат в знаменателе
x2+6x-1=x2+6x+9-10=x+32-10;
dxx2+6x-1=dxx+32-10=замена t=x+3, dt=dx=
=dtt2-10=dtt2-102=1210lnt-10t+10+C=обратная замена
=1210lnx+3-10x+3+10+C.
11)dxx2+4x+6;
Выделим полный квадрат в знаменателе
x2+4x+6=x2+4x+4+2=x+22+2;
dxx2+4x+6=dxx+22+2=dxx+22+22=
=замена t=x+2, dt=dx=dxt2+22=lnt+t2+22+C
=обратная замена=lnx+2+x+22+2+C=
=lnx+2+x2+4x+6+C.
12)x2+1lnxdx=по частям udv=uv-u'vdx u=lnx, x2+1dx=dv⟹⟹v=x33+x=
=x33+xlnx-x33+xxdx=x33+xlnx-x23+1dx=
=x33+xlnx-x39-x+C.
13)x+5exdx=по частям udv=uv-u'vdx u=x+5, exdx=dv⟹⟹v=ex=x+5ex-
-exdx=x+5ex-ex+C=x+4ex+C.
14)x3-2x2+4x3x-22dx;
Разложим подынтегральное выражение на простые множители:
x3-2x2+4x3x-22=Ax+Bx2+Cx3+Dx-2+Ex-22;
x3-2x2+4=Ax2x-22+Bxx-22+Cx-22+Dx3x-2+Ex3;
x3-2x2+4=Ax2x2-4x+4+Bxx2-4x+4+Cx2-4x+4+
+Dx4-2Dx3+Ex3;
x3-2x2+4=Ax4-4Ax3+4Ax2+Bx3-4Bx2+4Bx+Cx2-4Cx+4C
+Dx4-2Dx3+Ex3;
Приравнивая коэффициенты соответствующих степеней x, получаем систему линейных алгебраических уравнений:
x4:0=A+D,x3:1=-4A+B-2D+Ex2: -2=4A-4B+C,x:0=4B-4C,x0:4=4C⟹C=1,B=1,A=14,D=-14,E=12.
Таким образом,
x3-2x2+4x3x-22dx=14x+1x2+1x3-14x-2+12x-22dx=
=lnx4-1x-12x2-lnx-24-12x-2+C.
15)x-12-xdx=-1-x2-xdx=-2-x-12-xdx=
=-2-x+12-xdx=-dx+dx2-x=-x-ln2-x+C.
16)dx1-sinx=универсальная подстановка t=tgx2dt=dx2cos2x2,sinx=2tt2+1=
=2dtt2+11-2tt2+1=2dtt2-2t+1=2dtt-12=
=-2t-1+C=обратная замена=-2tgx2-1+C.
17)dx2x-1+42x-1=замена t=2x-1, dt=2dx=
=12dtt+4t=замена u=4t, du=dt4t34=2u3duu2+u=
=2u2duu+1=2u2+u-u-1+1duu+1=2udu-2du+
+2duu+1=2u22-2u+2lnu+1+C=обратные замены=
=t-24t+2ln4t+1+C=обратные замены=
=2x-1-242x-1+2ln42x-1+1+C.
18)sinxcos5xdx=sinαcosβ=12sinα-β+sinα+β=
=12sinx-5x+sinx+5xdx=12sin6x-sin4xdx=
=-cos6x12+cos4x8+C.
19)cos23xdx=cos2α=cos2α+12=12cos6x+1dx=
=sin6x12+x2+C.
20)dxe5x-1=замена t=5x, dt=5dx=15dtet-1=
=замена u=et, du=etdt=15dtuu-1=замена p=u-1, dp=du
=15dpp+1p=замена s=p, ds=dp2p=25dss2+1=25arctgs+C
=обртаные замены=25arctgp+C=обртаные замены=
=25arctget-1+C=обртаные замены=25arctge5x-1+C.
Во всех примерах C – означает произвольную постоянную.