Вычислить следующие интегралы x4+x3+6x-2x(x-1)(x+2)dx

В данном случае подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Преобразуем знаменатель, выполним умножение скобок:
x*x-1x+2=x2-x*x+2=x3+2x2-x2-2x=x3+x2-2x
Теперь разделим в столбик числитель на знаменатель (Рисунок 4):
Рисунок 4-Деление многочлена на многочлен.
Тогда подынтегральная функция перепишется так:
x4+x3+6x-2x(x-1)(x+2)=x4+x3+6x-2x3+x2-2x=x+2x2+6x-2x3+x2-2x
Чтобы вычислить интеграл, теперь, разложим полученную дробь на сумму простейших дробей, получим:
2x2+6x-2x3+x2-2x=2x2+6x-2x(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+Cx+2
A*x2+2x+Bx-1*x+2+Cx2-x=2x2+6x-2
Ax2+2Ax+Bx2+x-2+Cx2-Cx=Ax2+2Ax+Bx2+Bx-2B+Cx2-Cx=2x2+6x-2
Приравнивая коэффициенты между соответствующими степенями, получаем систему уравнений:
A+B+C=22A+B-C=6-2B=-2
Решив данную систему, получим:
A=2;B=1;C=-1
Тогда подынтегральное выражение перепишется так:
x4+x3+6x-2x(x-1)(x+2)=x+2x2+6x-2x3+x2-2x=x+2x-1+1x-1x+2
Тогда вычисляем полученный интеграл:
x4+x3+6x-2x(x-1)(x+2)dx=x+2x2+6x-2x3+x2-2xdx=x dx+2x2+6x-2x3+x2-2xdx=x dx+2x-1+1x-1x+2dx=x22+2d(x-1)x-1+dxx-dx+2x+2=x22+2lnx-1+lnx-lnx+2+C