Вычислить определенный интеграл с точностью до 10-4. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить определенный интеграл с точностью до 10-4

Вычислить определенный интеграл с точностью до 10-4 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить определенный интеграл с точностью до 10-4: 00,5dx364+x3

Ответ

0,125

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.
Представим подынтегральную функцию в виде биномиального ряда
1+zα=1+αz1!+αα-1z22!+…+αα-1…α-n+1znn!; -1<z<+1
1364+x3=14∙31+x364=14∙1+x43-13
Разложим данную функцию в биноминальный ряд, полагая
z=x43; α=-13
При α=-13 на интервале 0; 0,5 ряд сходится.
14∙1+x43-13=14∙1+-13∙x431!+-13∙-13-1∙x4322!+-13∙-13-1∙-13-2∙x4333!+…+-13∙-43∙-73…∙-13-n+1∙x43nn! -1<x364<1; -4<x<4
Так как отрезок интегрирования [0;0,5] находится внутри интервала сходимости биномиального ряда, то ряд можно почленно интегрировать.
Подставляя в интеграл разложение подынтегральной функции и почленно интегрируя в указанных пределах, получаем
1364+x3=14∙1-x31!∙192+1∙4∙x62!∙1922-1∙4∙7∙x93!∙1923+…-1n-1∙1∙4∙7∙…∙2-3n∙x3nn!∙192n…
00,5dx364+x3=1400,51-x3192+x618432-…dx=1400,5dx-1400,5x3192dx+1400,5x618432dx…=14∙0,5-14∙192∙4∙0,54+14∙18432∙7∙0,57-…
Второй член
14∙192∙4∙0,54=2∙10-5<10-4
поэтому для вычисления приближенного значения интеграла с требуемой точностью достаточно ограничиться первым членом ряда:
00,5dx364+x3=14∙0,5=0,125
Ответ: 0,125

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу