Вычислить несобственные интегралы или установить их

01xlnxdx
Заданный интеграл является несобственным интегралом второго рода.
В точке x=0 функция не определена, то есть, не существует
Тогда, согласно определению
abfxdx=limε→0a+εbfxdx
01xlnxdx=limε→0ε1xlnxdx=
( Применим к данному интегралу формулу интегрирования по частям
abudv=uvb a-abvdu
u=lnx;du=dxx;dv=xdx;v=xdx=x22 )
=limε→0x22lnx1 ε-ε1x22∙dxx=limε→0x22lnx1 ε-ε1x2dx=
=limε→0x22lnx1 ε-12ε1xdx=limε→0x22lnx1 ε-12∙x221 ε=
=limε→0x22lnx1 ε-x241 ε=limε→0122ln1-ε22lnε-124-ε24=
=limε→012∙0-ε22lnε-14+ε24=-14
Ответ: -14