Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость 01xlnxdx

В нашем случае x=0 – является особой точкой, так как при подстановке данной точки в исходный интеграл мы получаем неопределённость.
Для начала найдем неопределённый интеграл:
xlnxdx=u=ln⁡(x)dv=xdxdu=dxxv=xdx=x22=x2ln⁡(x)2-12xdx=x2lnx2-x24+C
01xlnxdx=limb→0b1xlnxdx=-14-limb→0b2lnb2-b24=-14
b1xlnxdx=x2lnx2-x241b=ln⁡(1)2-14-b2lnb2-b24=-14-b2lnb2-b24
Ответ: 01xlnxdx=-14