Вычислить неопределенные интегралы tgx+1cos2x+1dx

Tgx+1cos2x+1dx=sinx+1cosx+1cos2x+1dx=sinx+1cos3x+1dx=-dcosx+1cos3x+1=-cos-3+1x+1-3+1+С=-cos-2x+1-2+С=12∙cos2x+1+С

2∙x+17∙sin2∙xdx=2∙x∙sin2∙x+17∙sin2∙xdx=2∙x∙sin2∙xdx+17∙sin2∙xdx=1
Вычислим каждый из интегралов по отдельности:
sin2∙xdx=12∙sin2∙xd2∙x=-12∙cos2∙x+С
x∙sin2∙xdx=Интегрирование по частямu=x du=dxdv=sin2∙xdx⟹v=-12∙cos2∙x=-cos2∙x2∙x--12∙cos2∙xdx=-cos2∙x2∙x+12∙cos2∙xdx=-cos2∙x2∙x+14∙sin2∙x+C
1=2∙14∙sin2∙x-cos2∙x2∙x+17∙-12∙cos2∙x+С=12∙sin2∙x-x∙cos2∙x-172∙cos2∙x+С

5∙x2+2x+2∙x2-xdx=5∙x2x+2∙x2-xdx+2x+2∙x2-xdx=5∙xx+2∙x-1dx+2∙1x+2∙x2-xdx=1
Вычислим каждый из интегралов по отдельности:
xx+2∙x-1=Ax+2+Bx-1=A∙x-1+B∙x+2x+2∙x-1=A∙x-A+B∙x+2∙Bx+2∙x-1=A+B∙x+2∙B-Ax+2∙x-1⟹A+B=12∙B-A=0
2∙B-A=0, 2∙B=A⟹ A+B=2∙B+B=3∙B=1, B=13, A=2∙B=2∙13=23
Тогда
xx+2∙x-1=23∙1x+2+13∙1xc-1
xx+2∙x-1dx=23∙1x+2+13∙1x-1dx=23∙1x+2dx+13∙1x-1dx=23∙lnx+2+13∙lnx-1+С
1x+2∙x2-x=1x+2∙x∙x-1=Ax+2+Bx+Cx-1=A∙x∙x-1+B∙x+2∙x-1+C∙x+2∙xx+2∙x∙x-1=A∙x∙x-A∙x+B∙x2-x+2∙x-2+C∙x2+2∙xx+2∙x∙x-1=
A∙x2-A∙x+B∙x2+x-2+C∙x2+2∙C∙xx+2∙x∙x-1=A∙x2-A∙x+B∙x2+B∙x-2∙B+C∙x2+2∙C∙xx+2∙x∙x-1=A+B+C∙x2+-A+B+2∙C∙x-2∙Bx+2∙x∙x-1⟹A+B+C=0-A+B+2∙C=0-2∙B=1
B=-12⟹A+C=-B=12-A+2∙C=-B=12
3∙C=1, C=13, A=12-13=3-26=16
Тогда
1x+2∙x2-x=16∙1x+2-12∙1x+13∙1x-1
1x+2∙x2-xdx=16∙1x+2-12∙1x+13∙1x-1dx=16∙1x+2dx-12∙1xdx+13∙1x-1dx=16∙lnx+2-12∙lnx+13∙lnx-1+C
1=5∙23∙lnx+2+13∙lnx-1+2∙16∙lnx+2-12∙lnx+13∙lnx-1+C=103∙lnx+2+53∙lnx-1+13∙lnx+2-lnx+23∙lnx-1+C=113∙lnx+2+73∙lnx-1-lnx+C

sin3∙x∙sin7∙xdx=Тригономерическая формула произведенияsinα∙sinβ=12∙cosα-β-cosα+β=12∙cos7∙x-3∙x-cos3∙x+7∙xdx=12∙cos4∙xdx-12∙cos10∙xdx=12∙14∙sin4∙x-12∙110∙sin10∙x+C=18∙sin4∙x-120∙sin10∙x+C
Ответ: