Вычислить массу части сферы x2+y2+z2=a2 находящейся в первой октанте x≥0. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить массу части сферы x2+y2+z2=a2 находящейся в первой октанте x≥0

Вычислить массу части сферы x2+y2+z2=a2 находящейся в первой октанте x≥0 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить массу части сферы x2+y2+z2=a2, находящейся в первой октанте x≥0, y≥0, z≥0, если плотность в каждой ее точке равна расстоянию от точки до оси OZ.

Ответ

M=π2a432.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Расстояние от точки до оси OZ равно x2+y2⟹γx,y,z=x2+y2.
Масса тела:
M=Vγx,y,zdv=Vx2+y2dv.
Перейдем к цилиндрическим координатам:
x=ρcosφy=ρsinφz=z;dxdydz=ρdρdφdz
x2+y2+z2=a2⟹ρ2+z2=a2⟹z=a2-ρ2⟹z∈0;a2-ρ2.
Проекция тела на плоскость OXY:
ρ∈0;a, φ∈0;π2
x2+y2=ρ2=ρ
dv=ρdρdφdz
M=0π2dφ0aρ2dρ0a2-ρ2dz=0π2dφ0aρ2dρ∙z0a2-ρ2=0π2dφ0aρ2dρ∙a2-ρ2-0=0π2dφ0aρ2∙a2-ρ2dρ=ρ=asintdρ=acostdtt1=arcsin0a=0t1=arcsinaa=π2=0π2dφ0π2asint2∙a2-asint2∙acostdt=a4∙φ0π20π2sin2t∙cos2t∙dt=πa42∙0π2sin2t∙cos2t∙dt=πa480π2sin22tdt=πa380π2(1-cos4t)dt=πa416∙t-sin4t40π2=πa416∙π2-sin4∙π24-0-sin04=π2a432.
Ответ: M=π2a432.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу