Вычислить интеграл двумя способами I=|z-6|=1sin3z+2z2-4π2dz

1) Вычислим интеграл, используя основную теорему о вычетах:
I=|z-6|=1sin3z+2z2-4π2dz=2πik=1nresz=akf(z)
Найдем особые точки подынтегральной функции:
z2-4π2=(z-2π)(z+2π)=0⇒a1=2π, a2=-2π - полюсы первого порядка . 2π≈6,28, внутри контура |z-6|=1 лежит только 1 особая точка:
|2π-6|<1, |-2π-6|>1
Найдем вычет функции в точке z=2π:
f(z)=sin3z+2z2-4π2=g(z)h(z)
resz=2πf(z)=g(2π)h'(2π)=sin3(2π)+22⋅2π=12π
Таким образом,
I=2πiresz=2πf(z)=2πi2π=i
2) Вычислим интеграл, используя интегральную теорему Коши:
12πi∂Df(t)t-zdt=f(z), если z∈D
Тут контур ∂D - граница области D, D:|t-6|<1, f(t) аналитична в D
В нашем случае z=2π, f(t)=sin3t+2t+2π, таким образом,
12πi∂Df(t)t-zdt=12πi|t-6|=1sin3t+2(t+2π)(t-2π)dt=sin3(2π)+22π+2π=12π
Искомый интеграл I=|z-6|=1sin3z+2z2-4π2dz=2πi⋅12πi|t-6|=1sin3t+2(t+2π)(t-2π)dt=i
Ответ: а) i; б) i.