Вычислить интеграл π4π3cosxxdx разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд и беря сумму трех первых членов полученного разложения

Используем разложение:
cosx=1-x22!+x44!-x66!+…
Тогда:
cosxx=1-x22!+x44!-x66!+…x=1x-x2!+x34!-x56!+…
Таким образом
Iприбл=π4π31x-x2!+x34!-…dx=π4π31xdx-12!∙π4π3xdx+14!∙π4π3x3dx-…=lnxπ4π3-12∙x22π4π3+124∙x44π4π3-… =lnπ3-lnπ4-14∙π32-π42+196∙π34-π44-…≈0,17630
Так как ряд является знакочередующимся, то абсолютная погрешность не превзойдёт по модулю четвертого члена:
Δ≤-16!∙π4π3x5dx=-16!∙x66π4π3=-16!∙6∙π35-π45≈0,00025
Тогда относительная погрешность составит:
δ=ΔIист∙100%=ΔIприбл-Δ∙100%=0,000250,17630-0,00025∙100%=0,14%