Вычислить интеграл 0π2dxa2sin2x+b2cos 2x= a

Требуется вычислить:
∫1a2sin(x)2+b2cos(x)2dx
Упрощаем сумму квадратов трогонометрических/гиперболических функций:
sin2(x)+cos2(x)=1
=∫1(a2-b2)sin(x)2+b2dx
Подготовим к замене, используем:sin(x)=tan(x)/sec(x),sec2(x)=tan2(x)+1
=∫sec2(x)⋅1a2tan2(x)+b2dx
Подстановка u=tanx ⟶ dudx=sec2x  ⟶ dx=1sec2xdu:
=∫1a2u2+b2du
Подстановка v=au/b ⟶ dv/du=a/b ⟶ du=b/adv:
=∫ba(b2v2+b2)dv
Упрощаем:
=1ab∫1v2+1dv
Теперь вычисляем:
∫1v2+1dv
Это известный табличный интеграл:
=arctan(v)
Подставим уже вычисленные интегралы:
1ab∫1v2+1dv
=arctan(v)ab
Обратная замена v=au/b:
=arctanaubab
Обратная замена u=tan(x):
=arctanatanxbab
Задача решена:
∫1a2sin(x)2+b2cos(x)2dx
=arctanatanxbab+C