Вычислить длину дуги плоской кривой y=lnsinx

Длина дуги плоской кривой определяется по формуле:
L=ab1+y'x2dx
Найдем производную функции.
y'=lnsinx'=1sinx×sinx'=cosxsinx=ctgx
Нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = π6.
Таким образом получим:
L=0π61+ctg2xdx=0π61sin2xdx=0π61sinxdx
Рассмотрим неопределенный интеграл.
Для интегрирования рациональных функций применяют подстановку t=tgx2, которая называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Преобразуем интеграл:
1sinxdx=12sinx2cosx2dx=12sinx2cosx2cos2x2dx=12tgx2cos2x2dx
Пусть t=tgx2, тогда dt=12cos2x2dx
Подставим:
1tdt=lnt+C, C=const
Сделаем обратную замену:
0π61sinxdx=lntgx20π6=lntgπ12-lntg0=lntgπ12+∞
ОТВЕТ: L=lntgπ12+∞