Вычислить длину дуги плоской кривой y=lnsinx. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить длину дуги плоской кривой y=lnsinx

Вычислить длину дуги плоской кривой y=lnsinx .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить длину дуги плоской кривой y=lnsinx, 0≤x≤π6

Ответ

L=lntgπ12+∞

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Длина дуги плоской кривой определяется по формуле:
L=ab1+y'x2dx
Найдем производную функции.
y'=lnsinx'=1sinx×sinx'=cosxsinx=ctgx
Нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = π6.
Таким образом получим:
L=0π61+ctg2xdx=0π61sin2xdx=0π61sinxdx
Рассмотрим неопределенный интеграл.
Для интегрирования рациональных функций применяют подстановку t=tgx2, которая называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Преобразуем интеграл:
1sinxdx=12sinx2cosx2dx=12sinx2cosx2cos2x2dx=12tgx2cos2x2dx
Пусть t=tgx2, тогда dt=12cos2x2dx
Подставим:
1tdt=lnt+C, C=const
Сделаем обратную замену:
0π61sinxdx=lntgx20π6=lntgπ12-lntg0=lntgπ12+∞
ОТВЕТ: L=lntgπ12+∞

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу