Вторая задача динамики материальной точки.
Груз М массой m=40 кг начинает движение из точки D с начальной скоростью V0=12 м/с. Его движение происходит по наклонной плоскости длинны l, составляющей угол =45 с горизонтом, вдоль линии АВ наибольшего ската. Положение точки D задается величиной AD = S0=30м, вектор начальной скорости V0 направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости на груз действует постоянная сила Q = 25 Н, направление которой задается углом = 15, коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью =0,1. Через секунд груз покидает плоскость или в точке А, или в точке В и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием одной только силы тяжести, через Т секунд после отделения от плоскости попадает в точку С. Возможные варианты траекторий попадания груза в точку С показаны на рисунке.
Считая груз материальной точкой найти:
– точку (А или В) отрыва груза от плоскости,
– время τ движения груза по наклонной плоскости,
– скорость груза VB (или VA) в момент отрыва,
– координаты xс, yс точки C приземления груза,
– время T движения груза в воздухе,
– скорость VC груза в точке падения
l, м α,°
γ,°
m, кг s0, м
V0,мс
Q, Н
90 45 15 40 30 12 25
Ответ
время движения по наклонной плоскости: =2,95 с;
скорость в точке B (где груз покидает плоскость): VB=28,67м/с;
координаты точки С: x=228,72 м; y=395,69 м;
скорость груза в точке падения: Vc=92,61м/с.
Решение
1) Изучение движения на участке АВ:
Раcсмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изобразим груз и укажем действующие на него силы: силу тяжести груза G, нормальную реакцию N, заданную силу Q и силу трения скольжения Fтр
Составим дифференциальное уравнение движения груза вдоль оси Ах1
mx1= Fkx1; mx1=mg sin-Qcos-Fтр; (1)
G=mg; Fтр=∙N; (2)
Для определения нормальной реакции N проведем следующие рассуждения. Движение тела происходит вдоль оси Ах1, а в направлении перпендикулярном этой оси никакого движения нет. Если на рисунке провести ось Ау1,то дифференциальное уравнение движения груза вдоль этой оси имеет вид:
my1= Fky1; my1=N-mg cos+Q sin (3)
Величину нормальной реакции N найдем из уравнения (3), так как движения груза вдоль оси Ау1 не происходит, поэтому
y1=0, N=mg cos-Q sin (4)
Таким образом, подставляя (2) и (4) в уравнение (1), получаем
mx1=mg sin-Q cos- mg cos-Q sin
x1=g sin-Qmcos- g cos-Qmsin (5)
x1=gsin-cos-Qm(cos-fsin) (5)
Подставляя числовые значения, получим дифференциальное уравнение второго порядка
x1=9,8sin45°-0,1cos45°-2540cos15°-0,1sin15°=5,65;
x1=5,65 (м/с2);
Выполнив интегрирование уравнения (6), получим:
(7)
(8)
Найти постоянные интегрирования можно с помощью начальных условий
. Для данной задачи начальные условия имеют вид:
t = 0, S0 = x1= 30 м , V x1 = V0 = 12 м/с.
С их помощью из уравнений (7) и (8) находим:
С1 = V0 = 12, C2 = S0 = 30.
Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в уравнения (7) и (8), получаем уравнение скорости и уравнение движения материальной точки в заданной задаче
(9)
(10)
Для определения точки, в которой груз покидает плоскость, проведем следующие рассуждения. Предположим, что груз покидает плоскость в точке B. В момент достижения грузом этой точки время движения груза принимает значение , а координата x1 становится равной l=90 Подставляя эти значения в уравнение движения материальной точки (10), получаем
или
Находим корни квадратного уравнения
Подходит только корень τ2.
Для вычисления величины скорости VВ при отрыве груза от наклонной плоскости выбираем момент времени τ2=2,95 с.
2) Изучение движения на участке ВС:
0000
Движение на этом участке происходит под действием силы тяжести G
Составим дифференциальные уравнения движения груза на этом участке:
После сокращения на массу m и интегрирования, получаем:
Запишем начальные условия для движения груза из точки B в системе координат xBy, время будем отсчитывать от нуля:
xB=0; VB=28,67; t=0;
(11)
Используя начальные условия (11) найдем постоянные интегрирования:
C3=27,69; C4=7,42; C5=0; C6=0;
Таким образом, постоянные интегрирования найдены, и, подставляя их значения в общее решение, получаем закон изменения проекций вектора скорости на оси координат и уравнения движения груза вдоль осей координат после отрыва:
Vx=27,69; (12)
x=27,69t; (13)
Vy=9,8t+7,42; (14)
y=4,9t2+7,42t (15)
Определяем положение точки C из соотношения:
yx=tg60°=1,73;
y=1,73x.
Подставляя значения x и y, получим:
4,9t2+7,42t=1,73∙27,69t;
4,9t2+7,42t-47,90t=0;
4,9t2-40,48t=0;
t(4,9t-40,48)=0;
t1=0;
t2=40,484,9=8,26 с.
Значение t1 соответствует начальному положению (точка B), а значение t2=8,26 с – точке C.
Находим координаты точки C и скорость груза в этой точке:
x=27,69t2=27,69∙8,26=228,72 м;
y=1,73x=1,73∙228,72=395,69 м;
Vx=27,69 (м/с);
Vy=9,8∙8,26+7,42=88,37 (м/с);
VC=Vx2+Vy2=27,692+88,372=92,61 (м/с);
Ответ:
время движения по наклонной плоскости: =2,95 с;
скорость в точке B (где груз покидает плоскость): VB=28,67м/с;
координаты точки С: x=228,72 м; y=395,69 м;
скорость груза в точке падения: Vc=92,61м/с.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
