Возьмите 10 монет одинакового достоинства, хорошо перемешайте и выложите на стол. Сосчитайте количество гербов. Запишите результат.
Повторите пункт 1 сто раз. Результаты оформите в виде таблицы экспериментальных данных:
№ броска Число выпавших гербов
1 7
… …
100 3
Сосчитайте, сколько раз выпало 0 гербов, 1 герб, 2 герба, 3 герба,…, результаты оформите в виде статистического ряда:
Случайная величина X – число выпавших гербов
xi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ni
2 3 10 …
Постройте полигон частот, гистограмму.
Вычислите математическое ожидание a случайной величины X, ее дисперсию D и среднее квадратичное отклонение σ.
На графике, показывающем полигон относительных частот экспериментальных значений величины X, постройте кривую нормального распределения с вычисленными выше значениями математического ожидания и дисперсии.
Сравните экспериментальный и теоретический графики визуально.
Вычислите вероятности попадания случайной величины X в интервалы a-σ;a+σ,a-2σ;a+2σ,a-3σ;a+3σ и сравните с экспериментальными данными.
Вычислите критерий χ2 Пирсона и проверьте гипотезу о характере распределения (нормальное, биномиальное), приняв доверительную вероятность α=0,05.
Постройте доверительный интервал для математического ожидания величины X.
Решение
1;2) После выполнения пунктов 1 и 2 получены результаты:
Выборка
5 7 6 5 5 4 3 7 4 6
5 4 3 6 4 5 5 7 6 6
4 3 6 5 3 6 4 8 6 5
4 3 2 7 3 6 5 4 6 7
6 7 4 5 6 8 4 6 5 4
6 8 7 5 4 5 6 9 4 8
5 6 5 4 3 5 6 7 3 6
6 8 4 5 7 6 3 4 2 7
4 6 4 5 7 2 4 6 8 3
7 6 5 4 3 7 6 4 4 5
3) По выборке строим статистический ряд:
xi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ni
0 0 3 11 22 20 24 13 6 1 0
4) Построим полигон и гистограмму:
5) Числовые характеристики выборочного распределения
Выборочное среднее:
xВ=1n∙i=1kxi∙ni=
=0∙0+1∙0+2∙3+3∙11+4∙22+5∙20+6∙24+7∙13+8∙6+9∙1+10∙0100=
=519100=5,19
Выборочная дисперсия:
DВ=1n∙i=1k(xi-xВ)2∙ni=1n∙i=1kxi2∙ni-xВ2=
=02∙0+12∙0+22∙3+32∙11+42∙22+52∙20+62∙24+72∙13+82∙6+92∙1+102∙0100-(5,19)2=2929100-26,9361=29,29-26,9361≈2,354
Выборочное СКО:
σВ=DВ=2,354≈1,534
Исправленная выборочная дисперсия:
sВ2=nn-1∙DВ=10099∙2,354≈2,378
Исправленное выборочное СКО:
sВ=sВ2=2,378≈1,542
В качестве точечных оценок параметров распределения берем найденные выборочные средние:
a≈xВ=5,19 σ≈sВ=1,542
6;7) Построение кривой нормального распределения и сравнение теоретического и экспериментального распределений.
Кривая нормального распределения строится при полученных экспериментальных значениях параметров: a=5,19; σ=1,542
fx=1σ2π∙e-(x-a)22σ2=11,542∙2π∙e-(x-5,19)22∙1,5422
8) Вероятности попадания в интервал:
Pα<X<β=Фβ-aσ-Фa-aσ
Ф(x) – функция Лапласа
Фx=12π0xe-t22dt, Ф-x=-Фx
Значения данной функции берем из таблицы значений функции Лапласа:
Pα-σ<X<α+σ=Фa+σ-aσ-Фa-σ-aσ=
=Ф1-Ф-1=2Ф1=0,6827
Аналогично получаем:
Pα-2σ<X<α+2σ=2Ф2=0,9545
Pα-3σ<X<α+3σ=2Ф3=0,9973
Интервалы Экспериментальная
относительная
частота Теоретическая вероятность
(α-σ;α+σ)
(3,648;6,732)
0,66 0,6827
(α-2σ;α+2σ)
(2,106;8,274)
0,96 0,9545
(α-3σ;α+3σ)
(0,564;9,816)
1 0,9973
9) Вычисление критерия χ2 Пирсона и проверка гипотезы о виде распределения.
χнабл2=i=010(ni-npi)2npi
ni - экспериментальная частота
pi – теоретические вероятности, соответствующие значениям случайной величины
Вычисления дают:
xi
ni
ωi
pi binom
npi
(ni-npi)2npi
pi norm
npi
(ni-npi)2npi
0 0 0 0,001 0,098 0,098 0,001 0,09 0,09
1 0 0 0,010 0,977 0,977 0,006 0,645 0,645
2 3 0,03 0,044 4,395 0,443 0,03 3,044 0,001
3 11 0,11 0,117 11,719 0,044 0,094 9,437 0,259
4 22 0,22 0,205 20,508 0,109 0,192 19,209 0,406
5 20 0,2 0,246 24,609 0,863 0,258 25,676 1,255
6 24 0,24 0,205 20,508 0,595 0,225 22,538 0,095
7 13 0,13 0,117 11,719 0,14 0,13 12,991 0
8 6 0,06 0,044 4,395 0,587 0,049 4,917 0,238
9 1 0,01 0,010 0,977 0,001 0,012 1,222 0,04
10 0 0 0,001 0,098 0,098 0,002 0,199 0,199
100 1 1 100 3,952 1 99,968 3,228
В четвертом столбце таблицы приведены вероятности, вычисленные по формуле Бернулли:
Pnm=Cnm∙pm∙qn-m
pi binom=C10xi∙12xi∙1-1210-xi=C10xi∙1210
В седьмом столбце таблицы плотности вероятности нормального распределения с параметрами a=5,19; σ=1,542:
pi norm=fxi=11,542∙2π∙e-(xi-5,19)22∙1,5422
В последней строке шестого и девятого столбцов приведены экспериментальные значения критерия χнабл2
Нормального распределения χнабл2=3,228
Биномиального распределения: χнабл2=3,952
При n →∞ распределение этой случайной величины, независимо от того, каков закон распределения генеральной совокупности, стремится к распределению Пирсона χ2 с числом степеней свободы v=q-1-k, где k – число параметров генерального распределения, оцениваемых на основании наблюденных данных.
а) Сравнение с нормальным распределением:
Так как оба параметра распределения генеральной совокупности оцениваются по данным выборки, число степеней свободы v=11-1-2=8
По таблице распределения χ2 для v=8 и α=0,05 находим критическую точку:
χкрит20,05;8=15,507
χнабл2<χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении случайной величины X не отвергается.
б) Сравнение с биномиальным распределением:
Так как единственный параметр распределения генеральной совокупности p=0,5 не оценивается по данным выборки, число степеней свободы v=11-1=10
По таблице распределения χ2 для v=10 и α=0,05 находим критическую точку:
χкрит20,05;10=18,307
χнабл2<χкрит2, то гипотеза о биномиальном характере распределении случайной величины X не отвергается.
10) Доверительный интервал для математического ожидания величины X
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
