Внецентренное сжатие брусьев большой жесткости

1. Нахождение площади поперечного сечения бруса.
Разобьём заданное сечение на четыре фигуры: фигура 1 – прямоугольник, фигура 2 – прямоугольник, фигура 3 – полукруг, фигура 4 – круг.
Определим для заданного сечения геометрические характеристики (рисунок 2).
Площадь поперечного сечения:
A=A1+A2+A3-A4;
A1=6a∙a=6a2=6∙0,52=1,5 м2-площадь прямоугольника;
A2=8a∙5a=40a2=40∙0,52=10 м2-площадь прямоугольника;
A3=π∙R22=3,14∙3a22=3,14∙3∙0,522=3,532 м2-площадь
полукруга;
A4=π∙r2=3,14∙1,5a2=3,14∙1,5∙0,52=1,766 м2-площадь круга.
Тогда общая площадь определяется:
A=A1+A2+A3-A4=1,5+10+3,532-1,766=13,266 м2.
2. Определение положения главных центральных осей сечения.
Чтобы определить положение главных центральных осей сечения, необходимо найти положение центра тяжести сечения.
Координата центра тяжести сечения по оси OX (xC) будет находиться на оси OYC, так как эта ось является осью симметрии сечения.
Чтобы найти координату центра тяжести сечения по оси OY (yC), проведём через самую нижнюю точку сечения ось OX0, относительно которой будем находить статический момент всего сечения (рисунок 1).
Рисунок 1
Координата центра тяжести сечения по оси y находится по формуле:
yC=SX0A,
где:
A – площадь поперечного сечения бруса;
SX0 – статический момент всего сечения относительно выбранной оси X0.
Статический момент определяется:
SX0=SX1+SX2+SX3-SX4;
SX1=A1∙y1=1,5 ∙0,25=0,375 м3;
SX2=A2∙y2=10∙1,75=17,5 м3;
SX3=A3∙y3=3,532 ∙3+4R3π=3,532 ∙3+4∙3a3π=
=3,532 ∙3+4∙3∙0,53∙3,14=3,532 ∙3+0,637=12,846 м3;
SX4=A4∙y4=1,766∙3=5,298 м3.
Общий статический момент находится:
SX0=SX1+SX2+SX3-SX4=0,375+17,5+12,846-5,298=25,423 м3.
Тогда координата центра тяжести:
yC=SX0A=25,42313,266=1,916 м.
Проводим в сечении ось OXC на расстоянии yC=1,916 м от оси OX0 (рисунок 1) .
Так как одна из осей (OYC) является осью симметрии сечения, то оси CXCYC будут главными центральными осями сечения.
2.1 Определение главных моментов и радиусов инерции сечения.
Радиусы инерции сечения находятся по формулам:
ix2=IxA; iy2=IyA,
где:
Ix и Iy – моменты инерции сечения относительно соответствующих осей.
Определим моменты инерции сечения.
Iy=Iy1+Iy2+Iy3-Iy4;
Iy1=a∙6a312=216∙a412=18∙a4=18∙0,54=1,125 м4-момент
инерции прямоугольника;
Iy2=5a∙8a312=2560∙a412=213,33∙a4=213,33∙0,54=13,333 м4-
момент инерции прямоугольника;
Iy3=π∙R48=π∙3a48=3,14∙3∙0,548=1,987 м4-момент инерции
полукруга;
Iy4=π∙r44=π∙(1,5a)44=3,14∙(1,5∙0,5)44=0,248 м4-момент инерции
круга;
Общий момент инерции сечения:
Iy=Iy1+Iy2+Iy3-Iy4=1,125+13,333+1,987-0,248=16,197 м4.
Момент инерции сечения относительно оси x:
Ix=Ixc1+Ixc2+Ixc3-Ixc4;
Ixc1=6a∙a312+A1∙b12=a42+A1∙b12=0,542+1,5∙-1,672=
=0,03125+4,183=4,215 м4;
Ixc2=8a∙5a312+A2∙b22=1000∙a412+A2∙b22=83,33∙a4+A2∙b22=
=83,33∙0,54+10∙-0,172=5,208+0,289=5,497 м4;
Ixc3=0,11∙R4+A3∙b32=0,11∙3a4+A3∙b32=8,91∙a4+A3∙b32=
=8,91∙0,54+3,532∙1,7212=0,557+10,461=11,018 м4;
Ixc4=π∙r44+A4∙b42=3,14∙1,5a44+A4∙b42=3,974∙a4+A4∙b42=
=3,974∙0,54+1,766∙1,0842=0,248+2,075=2,323 м4.
Общий момент инерции сечения:
Ix=Ixc1+Ixc2+Ixc3-Ixc4=4,215+5,497+11,018-2,323=18,41 м4.
Определим радиусы инерции сечения:
ix2=IxA=18,4113,266=1,388 м2;
iy2=IyA=16,19713,266=1,221 м2.
3. Определение положения нулевой и силовой линии и положения опасных
точек в сечении бруса.
Обозначим крайние точки сечения заглавными латинскими буквами (рисунок 2).
Выпишем координаты полюса (точки приложения силы P – точки 1):
x(1)=xP=4a=2 м; y(1)=yP=b4=1,084 м.
Определим положение нейтральной линии.
Для этого найдём координату точки пересечения нейтральной линии (N) с осью OXC:
xN=-iy2xP=-1,2212=-0,61 м.
Координата точки пересечения нейтральной линии с осью OYC:
yN=-iX2yP=-1,3881,084=-1,28 м.
Откладываем на оси CXC отрезок xN=0,61 м влево от центра тяжести сечения С, а на оси CYC отрезок yN=1,28 м вниз от центра тяжести С (рисунок 2).
Опасными точками в сечении бруса являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии, в них возникают наибольшие сжимающие и наибольшие растягивающие напряжения.
Из рисунка 2 видно, что наибольшие сжимающие напряжения возникают в точке D (xD=2 м; yD=1,084 м), а наибольшие растягивающие – в точке L (xL=-2 м, yL=-1,416 м).
Координаты точки приложения силы P:
xP=2 м; yP=1,084 м.
Рисунок 2
Напряжения σmax и σmin определяем по формуле:
σ=±PA∙1+y∙yPiX2+x∙xPiy2,
где:
x, y – координаты точки, в которой определяются напряжения;
xP, yP – координаты точки приложения силы P;
знак «+» – растягивающая сила;
знак «–» – сжимающая.
σmax=σL=-PA∙1+yL∙yPiX2+xL∙xPiy2=
=-P13,266∙1+-1,416∙1,0841,388+-2∙21,221=
=-P13,266∙1-1,106-3,276=-P13,266∙-3,382=0,255∙P.
σmin=σD=-PA∙1+yD∙yPiX2+xD∙xPiy2=
=-P13,266∙1+1,084∙1,0841,388+2∙21,221=
=-P13,266∙1+0,8466+3,276=-P13,266∙5,123=-0,386∙P.
4