Винни Пух каждый день может находиться только в двух состояниях. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теории вероятности
Винни Пух каждый день может находиться только в двух состояниях

Винни Пух каждый день может находиться только в двух состояниях .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Винни Пух каждый день может находиться только в двух состояниях: бодром и задумчивом. В первый день Винни Пух бодр. Если Винни Пух бодр в некоторый день, то на следующий день он равновероятно бодр и задумчив. А если Винни Пух задумчив в некоторый день, то на следующий день он останется задумчивым с вероятностью 0,2. (а) Какова вероятность того, что Винни Пух будет задумчив в четвертый день? (b) Какова вероятность того, что Винни Пух будет задумчив через 10 лет?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Представим состояния Винни Пуха цепью Маркова, где состояния S1 соответствует бодрому состоянию Винни Пуха, а S2 – наоборот, задумчивому.
Тогда, согласно условию, имеем следующую матрицу переходов между состояниями за один шаг:
P=0,50,50,80,2
(а) Какова вероятность того, что Винни Пух будет задумчив в четвертый день?
Поскольку нам известно состояние Винни Пуха в первый день, то для того, чтобы узнать состояние на четвертый день, последовательно найдем матрицу переходов за три дня:
P2=0,50,50,80,2∙0,50,50,80,2=0,650,350,560,44
P3=0,650,350,560,44∙0,50,50,80,2=0,6050,3950,6320,368
И поскольку в первый день Винни Пух бодр, то вероятность того, что Винни Пух будет задумчив в четвертый день равна (соответствующий элемент матрицы переходов за три шага):
PA=0,395
(b) Какова вероятность того, что Винни Пух будет задумчив через 10 лет?
Найдем финальное распределение вероятностей состояний из соответствующей системы линейных уравнений (коэффициенты правой части системы – транспонированная матрица переходных вероятностей за один шаг), дополненной нормировочным уравнением:
P1=0,5P1+0,8P2P2=0,5P1+0,2P2P1+P2=1
Из первого уравнения:
P1=85P2
Подставляя в нормировочное уравнение:
85P2+P2=1
Находим вероятность того, что Винни Пух будет задумчив через 10 лет:
P2=513

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу