Винни Пух каждый день может находиться только в двух состояниях

Представим состояния Винни Пуха цепью Маркова, где состояния S1 соответствует бодрому состоянию Винни Пуха, а S2 – наоборот, задумчивому.
Тогда, согласно условию, имеем следующую матрицу переходов между состояниями за один шаг:
P=0,50,50,80,2
(а) Какова вероятность того, что Винни Пух будет задумчив в четвертый день?
Поскольку нам известно состояние Винни Пуха в первый день, то для того, чтобы узнать состояние на четвертый день, последовательно найдем матрицу переходов за три дня:
P2=0,50,50,80,2∙0,50,50,80,2=0,650,350,560,44
P3=0,650,350,560,44∙0,50,50,80,2=0,6050,3950,6320,368
И поскольку в первый день Винни Пух бодр, то вероятность того, что Винни Пух будет задумчив в четвертый день равна (соответствующий элемент матрицы переходов за три шага):
PA=0,395
(b) Какова вероятность того, что Винни Пух будет задумчив через 10 лет?
Найдем финальное распределение вероятностей состояний из соответствующей системы линейных уравнений (коэффициенты правой части системы – транспонированная матрица переходных вероятностей за один шаг), дополненной нормировочным уравнением:
P1=0,5P1+0,8P2P2=0,5P1+0,2P2P1+P2=1
Из первого уравнения:
P1=85P2
Подставляя в нормировочное уравнение:
85P2+P2=1
Находим вероятность того, что Винни Пух будет задумчив через 10 лет:
P2=513