Вершины тетраэдра находятся в точках A1, A2, A3, A4.
Найдите:
1) Длину ребра A1A2;
2) Угол между ребрами A1A2 и A1A3;
3) Уравнение ребра A1A4;
4) Уравнение грани A1 A2 A3;
5) Угол между ребром A1A4 и гранью A1 A2 A3;
6) Длину высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3;
7) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3
8) Площадь грани A1A2A3.
9) Объем тетраэдра.
A1 (1; 2; 0); A2 (3; 0; -3); A3 (5; 2; 6); A4 (8; 4; -9) .
Ответ
1) A1A2=17.
2) (A1A2,A1A3)=109,66o.
3) A1A4:x-17=y-22=z-9.
4) A1A2A3: 3x+6y-2z-15=0.
5) φ=38,98o.
6)h=517.
7)h:.
8) S=14 кв.ед.
9) V=34 куб.ед.
Решение
1) Найдем координаты вектора A1A2:
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=3-1;0-2;-3-0=2;-2;-3.
Найдем длину вектора A1A2:
A1A2=x2+y2+z2=22+(-2)2+(-3)2=4+4+9=17.
2) Угол между двумя ребрами A1A2 и A1A3 определим как угол между их направляющими векторами по формуле:
cos (n1^n2)=n1∙n2n1∙n2.
Направляющий вектор ребра A1A2 равен: n1=2;-2;-3.
Найдем направляющий вектор ребра A1A3: n2=5-1;2-2;6-0=4;0;6.
Найдем скалярное произведение векторов n1и n1 и их модули:
n1∙n2=2∙4+-2∙0+-3∙6=8+0-18=-10.
n1=17;
n2=42+02+62=16+0+36=52=213.
Тогда,
coan1^n2=-1017∙213=-5221=-0,336.
(A1A2,A1A3)=n1^n1=arсcos-0,336=109,66o.
3) Составим каноническое уравнение прямой A1A4, используя уравнение прямой, проходящей через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1.
Тогда, уравнение прямой A1A4 примет вид:
A1A4:x-18-1=y-24-2=z-0-9-0→x-17=y-22=z-9.
4) Составим общее уравнение грани A1A2A3 , проходящей через точки , , , по формуле:
.
Подставим координаты точек в уравнение:
x-1y-2z-03-10-2-3-05-12-26-0=0,
x-1y-2z2-2-3406=0.
Вычислим определитель разложением по элементам первой строки:
x-1y-2z2-2-3406=x-1∙-2-306-y-2∙2-346+z∙2-240=
=x-1∙-12-0-y-2∙12+12+z∙0+8=x-1∙-12-
-y-2∙24+z∙8=-12x-24y+8z+12+48=-12x-24y+8z+60=0.
Получаем уравнение грани A1A2A3:
-12x-24y+8z+60=0 или 3x+6y-2z-15=0
.
5) За угол между ребром и гранью принимают угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Она может быть вычислена по формуле:
sinφ=s∙ps∙p
Где p– нормальный вектор грани A1A2A3, s – направляющий вектор ребра A1A4.
s=7;2,-9;p=3;6;-2.
Найдем скалярное произведение векторов s и p и их модули:
s∙p=7∙3+2∙6+-9∙-2=21+12+18=51.
s=72+22+(-9)2=49+4+81=134;
p=32+62+(-2)2=9+36+4=49=7.
Тогда, угол между ребром AD и гранью АВС равен:
sinφ=51134∙7=12≈0,629.
φ=arсsin0,629≈38,98o.
6) Длину высоты h, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 найдем по формуле расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 по формуле:
d=h=Ax1+By1+Cz1+DA2+B2+C2.
Тогда, найдем длину высоты hкак расстояние от точки A4 (8; 4; -9) до плоскости A1A2A3: 3x+6y-2z-15=0:
d=h=3∙8+6∙4+-2∙-9-1532+62+(-2)2=24+24+18-159+36+4=5149=517.
7) Уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 составляет по формуле:
,
где (x0, y0, z0) – координаты точки A4, - координаты направляющего вектора прямой h
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
